Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 66757 / 66491
↖ ↑ ↗
← S  2.622070°
E  3.353576°		 ← 305.11 m → S  2.622070°
E  3.356323°		 →
↑
305.04 m
↓
↑
305.04 m
↓
S  2.624814°
E  3.353576°		 ← 305.11 m →
93 070 m²		 S  2.624814°
E  3.356323°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66757 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66491 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509319305419922 y=0.507289886474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509319305419922 × 217)
    floor (0.509319305419922 × 131072)
    floor (66757.5)     		tx = 66757
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.507289886474609 × 217)
    floor (0.507289886474609 × 131072)
    floor (66491.5)     		ty = 66491
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66757 / 66491 ti = "17/66757/66491"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66757/66491.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66757 ÷ 217
    66757 ÷ 131072     		x = 0.509315490722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66491 ÷ 217
    66491 ÷ 131072     		y = 0.507286071777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509315490722656 × 2 - 1) × π
    0.0186309814453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05853095
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.507286071777344 × 2 - 1) × π
    -0.0145721435546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0457797391371536
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05853095} λ = 0.05853095}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0457797391371536))-π/2
    2×atan(0.95525234372592)-π/2
    2×0.762516285014643-π/2
    1.52503257002929-1.57079632675     		φ = -0.04576376
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05853095} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.353576°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.04576376 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.622070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66757 KachelY 66491 0.05853095 -0.04576376 3.353576 -2.622070
    Oben rechts KachelX + 1 66758 KachelY 66491 0.05857889 -0.04576376 3.356323 -2.622070
    Unten links KachelX 66757 KachelY + 1 66492 0.05853095 -0.04581164 3.353576 -2.624814
    Unten rechts KachelX + 1 66758 KachelY + 1 66492 0.05857889 -0.04581164 3.356323 -2.624814
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.04576376--0.04581164) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dl = 305.043480000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.04576376--0.04581164) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dr = 305.043480000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05853095-0.05857889) × cos(-0.04576376) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998953021880219 × 6371000     		do = 305.105965933023m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05853095-0.05857889) × cos(-0.04581164) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.9989508303311 × 6371000     		du = 305.105296577511m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.04576376)-sin(-0.04581164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998953021880219-0.9989508303311)×R²
    abs(0.05857889-0.05853095)×2.1915491197344e-06×R²
    4.79400000000033e-05×2.1915491197344e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.1915491197344e-06×40589641000000     		ar = 93070.4835434759m²