Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66756 / 66490
↖ ↑ ↗
← S  2.619326°
E  3.350830°		 ← 305.04 m → S  2.619326°
E  3.353576°		 →
↑
305.11 m
↓
↑
305.11 m
↓
S  2.622070°
E  3.350830°		 ← 305.04 m →
93 071 m²		 S  2.622070°
E  3.353576°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66756 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509311676025391 y=0.507282257080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509311676025391 × 217)
    floor (0.509311676025391 × 131072)
    floor (66756.5)     		tx = 66756
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.507282257080078 × 217)
    floor (0.507282257080078 × 131072)
    floor (66490.5)     		ty = 66490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66756 / 66490 ti = "17/66756/66490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66756/66490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66756 ÷ 217
    66756 ÷ 131072     		x = 0.509307861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66490 ÷ 217
    66490 ÷ 131072     		y = 0.507278442382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509307861328125 × 2 - 1) × π
    0.01861572265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05848302
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.507278442382812 × 2 - 1) × π
    -0.014556884765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0457318022375336
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05848302} λ = 0.05848302}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0457318022375336))-π/2
    2×atan(0.95529813665921)-π/2
    2×0.762540228396259-π/2
    1.52508045679252-1.57079632675     		φ = -0.04571587
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05848302} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.350830°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.04571587 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.619326°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66756 KachelY 66490 0.05848302 -0.04571587 3.350830 -2.619326
    Oben rechts KachelX + 1 66757 KachelY 66490 0.05853095 -0.04571587 3.353576 -2.619326
    Unten links KachelX 66756 KachelY + 1 66491 0.05848302 -0.04576376 3.350830 -2.622070
    Unten rechts KachelX + 1 66757 KachelY + 1 66491 0.05853095 -0.04576376 3.353576 -2.622070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.04571587--0.04576376) × R
    4.78900000000018e-05 × 6371000     		dl = 305.107190000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.04571587--0.04576376) × R
    4.78900000000018e-05 × 6371000     		dr = 305.107190000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05848302-0.05853095) × cos(-0.04571587) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.998955211596244 × 6371000     		do = 305.042991292119m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05848302-0.05853095) × cos(-0.04576376) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.998953021880219 × 6371000     		du = 305.042322635988m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.04571587)-sin(-0.04576376))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998955211596244-0.998953021880219)×R²
    abs(0.05853095-0.05848302)×2.18971602505835e-06×R²
    4.79300000000016e-05×2.18971602505835e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.18971602505835e-06×40589641000000     		ar = 93070.7079142303m²