Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66756 / 48833
↖ ↑ ↗
← N 41.638026°
E  3.350830°		 ← 228.21 m → N 41.638026°
E  3.353576°		 →
↑
228.21 m
↓
↑
228.21 m
↓
N 41.635973°
E  3.350830°		 ← 228.22 m →
52 081 m²		 N 41.635973°
E  3.353576°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66756 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48833 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509311676025391 y=0.372570037841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509311676025391 × 217)
    floor (0.509311676025391 × 131072)
    floor (66756.5)     		tx = 66756
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.372570037841797 × 217)
    floor (0.372570037841797 × 131072)
    floor (48833.5)     		ty = 48833
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66756 / 48833 ti = "17/66756/48833"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66756/48833.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66756 ÷ 217
    66756 ÷ 131072     		x = 0.509307861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48833 ÷ 217
    48833 ÷ 131072     		y = 0.372566223144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509307861328125 × 2 - 1) × π
    0.01861572265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05848302
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.372566223144531 × 2 - 1) × π
    0.254867553710938 × 3.1415926535     		Φ = 0.800690034353798
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05848302} λ = 0.05848302}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.800690034353798))-π/2
    2×atan(2.22707715815358)-π/2
    2×1.14875848497893-π/2
    2.29751696995787-1.57079632675     		φ = 0.72672064
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05848302} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.350830°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72672064 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.638026°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66756 KachelY 48833 0.05848302 0.72672064 3.350830 41.638026
    Oben rechts KachelX + 1 66757 KachelY 48833 0.05853095 0.72672064 3.353576 41.638026
    Unten links KachelX 66756 KachelY + 1 48834 0.05848302 0.72668482 3.350830 41.635973
    Unten rechts KachelX + 1 66757 KachelY + 1 48834 0.05853095 0.72668482 3.353576 41.635973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72672064-0.72668482) × R
    3.58200000000197e-05 × 6371000     		dl = 228.209220000126m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72672064-0.72668482) × R
    3.58200000000197e-05 × 6371000     		dr = 228.209220000126m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05848302-0.05853095) × cos(0.72672064) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.747357297156944 × 6371000     		do = 228.214541395165m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05848302-0.05853095) × cos(0.72668482) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.747381096286361 × 6371000     		du = 228.221808745636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72672064)-sin(0.72668482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.747357297156944-0.747381096286361)×R²
    abs(0.05853095-0.05848302)×2.37991294171902e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.37991294171902e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.37991294171902e-05×40589641000000     		ar = 52081.4917281939m²