Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66755 / 66499
↖ ↑ ↗
← S  2.644020°
E  3.348083°		 ← 305.10 m → S  2.644020°
E  3.350830°		 →
↑
305.04 m
↓
↑
305.04 m
↓
S  2.646763°
E  3.348083°		 ← 305.10 m →
93 069 m²		 S  2.646763°
E  3.350830°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66755 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509304046630859 y=0.507350921630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509304046630859 × 217)
    floor (0.509304046630859 × 131072)
    floor (66755.5)     		tx = 66755
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.507350921630859 × 217)
    floor (0.507350921630859 × 131072)
    floor (66499.5)     		ty = 66499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66755 / 66499 ti = "17/66755/66499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66755/66499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66755 ÷ 217
    66755 ÷ 131072     		x = 0.509300231933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66499 ÷ 217
    66499 ÷ 131072     		y = 0.507347106933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509300231933594 × 2 - 1) × π
    0.0186004638671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.05843508
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.507347106933594 × 2 - 1) × π
    -0.0146942138671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0461632343341141
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05843508} λ = 0.05843508}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0461632343341141))-π/2
    2×atan(0.954886079275034)-π/2
    2×0.762324739856604-π/2
    1.52464947971321-1.57079632675     		φ = -0.04614685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05843508} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.348083°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.04614685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.644020°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66755 KachelY 66499 0.05843508 -0.04614685 3.348083 -2.644020
    Oben rechts KachelX + 1 66756 KachelY 66499 0.05848302 -0.04614685 3.350830 -2.644020
    Unten links KachelX 66755 KachelY + 1 66500 0.05843508 -0.04619473 3.348083 -2.646763
    Unten rechts KachelX + 1 66756 KachelY + 1 66500 0.05848302 -0.04619473 3.350830 -2.646763
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.04614685--0.04619473) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dl = 305.043480000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.04614685--0.04619473) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dr = 305.043480000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05843508-0.05848302) × cos(-0.04614685) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998935423058524 × 6371000     		do = 305.100590799839m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05843508-0.05848302) × cos(-0.04619473) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.99893321318644 × 6371000     		du = 305.099915848023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.04614685)-sin(-0.04619473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998935423058524-0.99893321318644)×R²
    abs(0.05848302-0.05843508)×2.20987208354728e-06×R²
    4.79399999999963e-05×2.20987208354728e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.20987208354728e-06×40589641000000     		ar = 93068.8430405915m²