Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66754 / 48832
↖ ↑ ↗
← N 41.640078°
E  3.345337°		 ← 228.25 m → N 41.640078°
E  3.348083°		 →
↑
228.27 m
↓
↑
228.27 m
↓
N 41.638026°
E  3.345337°		 ← 228.26 m →
52 105 m²		 N 41.638026°
E  3.348083°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66754 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509296417236328 y=0.372562408447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509296417236328 × 217)
    floor (0.509296417236328 × 131072)
    floor (66754.5)     		tx = 66754
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.372562408447266 × 217)
    floor (0.372562408447266 × 131072)
    floor (48832.5)     		ty = 48832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66754 / 48832 ti = "17/66754/48832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66754/48832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66754 ÷ 217
    66754 ÷ 131072     		x = 0.509292602539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48832 ÷ 217
    48832 ÷ 131072     		y = 0.37255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509292602539062 × 2 - 1) × π
    0.018585205078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05838714
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37255859375 × 2 - 1) × π
    0.2548828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.800737971253418
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05838714} λ = 0.05838714}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.800737971253418))-π/2
    2×atan(2.22718391988664)-π/2
    2×1.14877639768948-π/2
    2.29755279537896-1.57079632675     		φ = 0.72675647
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05838714} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.345337°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72675647 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.640078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66754 KachelY 48832 0.05838714 0.72675647 3.345337 41.640078
    Oben rechts KachelX + 1 66755 KachelY 48832 0.05843508 0.72675647 3.348083 41.640078
    Unten links KachelX 66754 KachelY + 1 48833 0.05838714 0.72672064 3.345337 41.638026
    Unten rechts KachelX + 1 66755 KachelY + 1 48833 0.05843508 0.72672064 3.348083 41.638026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72675647-0.72672064) × R
    3.5829999999959e-05 × 6371000     		dl = 228.272929999738m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72675647-0.72672064) × R
    3.5829999999959e-05 × 6371000     		dr = 228.272929999738m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05838714-0.05843508) × cos(0.72675647) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.747333490424122 × 6371000     		do = 228.254884339586m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05838714-0.05843508) × cos(0.72672064) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.747357297156944 × 6371000     		du = 228.262155528575m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72675647)-sin(0.72672064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.747333490424122-0.747357297156944)×R²
    abs(0.05843508-0.05838714)×2.38067328220959e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.38067328220959e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.38067328220959e-05×40589641000000     		ar = 52105.2411484644m²