Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66753 / 66486
↖ ↑ ↗
← S  2.608351°
E  3.342591°		 ← 305.05 m → S  2.608351°
E  3.345337°		 →
↑
305.11 m
↓
↑
305.11 m
↓
S  2.611095°
E  3.342591°		 ← 305.04 m →
93 072 m²		 S  2.611095°
E  3.345337°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66753 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66486 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509288787841797 y=0.507251739501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509288787841797 × 217)
    floor (0.509288787841797 × 131072)
    floor (66753.5)     		tx = 66753
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.507251739501953 × 217)
    floor (0.507251739501953 × 131072)
    floor (66486.5)     		ty = 66486
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66753 / 66486 ti = "17/66753/66486"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66753/66486.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66753 ÷ 217
    66753 ÷ 131072     		x = 0.509284973144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66486 ÷ 217
    66486 ÷ 131072     		y = 0.507247924804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509284973144531 × 2 - 1) × π
    0.0185699462890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05833921
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.507247924804688 × 2 - 1) × π
    -0.014495849609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0455400546390533
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05833921} λ = 0.05833921}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0455400546390533))-π/2
    2×atan(0.95548133034566)-π/2
    2×0.762636002446706-π/2
    1.52527200489341-1.57079632675     		φ = -0.04552432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05833921} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.342591°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.04552432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.608351°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66753 KachelY 66486 0.05833921 -0.04552432 3.342591 -2.608351
    Oben rechts KachelX + 1 66754 KachelY 66486 0.05838714 -0.04552432 3.345337 -2.608351
    Unten links KachelX 66753 KachelY + 1 66487 0.05833921 -0.04557221 3.342591 -2.611095
    Unten rechts KachelX + 1 66754 KachelY + 1 66487 0.05838714 -0.04557221 3.345337 -2.611095
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.04552432--0.04557221) × R
    4.78900000000018e-05 × 6371000     		dl = 305.107190000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.04552432--0.04557221) × R
    4.78900000000018e-05 × 6371000     		dr = 305.107190000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05833921-0.05838714) × cos(-0.04552432) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.998963947094649 × 6371000     		do = 305.045658781601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05833921-0.05838714) × cos(-0.04557221) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.9989617665424 × 6371000     		du = 305.044992923739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.04552432)-sin(-0.04557221))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998963947094649-0.9989617665424)×R²
    abs(0.05838714-0.05833921)×2.18055224976421e-06×R²
    4.79299999999946e-05×2.18055224976421e-06×6371000²
    4.79299999999946e-05×2.18055224976421e-06×40589641000000     		ar = 93071.5222113431m²