Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66751 / 48717
↖ ↑ ↗
← N 41.875696°
E  3.337097°		 ← 227.42 m → N 41.875696°
E  3.339844°		 →
↑
227.44 m
↓
↑
227.44 m
↓
N 41.873651°
E  3.337097°		 ← 227.43 m →
51 726 m²		 N 41.873651°
E  3.339844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66751 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48717 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509273529052734 y=0.371685028076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509273529052734 × 217)
    floor (0.509273529052734 × 131072)
    floor (66751.5)     		tx = 66751
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.371685028076172 × 217)
    floor (0.371685028076172 × 131072)
    floor (48717.5)     		ty = 48717
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66751 / 48717 ti = "17/66751/48717"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66751/48717.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66751 ÷ 217
    66751 ÷ 131072     		x = 0.509269714355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48717 ÷ 217
    48717 ÷ 131072     		y = 0.371681213378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509269714355469 × 2 - 1) × π
    0.0185394287109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.05824333
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.371681213378906 × 2 - 1) × π
    0.256637573242188 × 3.1415926535     		Φ = 0.806250714709724
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05824333} λ = 0.05824333}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.806250714709724))-π/2
    2×atan(2.23949571817977)-π/2
    2×1.15083255270257-π/2
    2.30166510540513-1.57079632675     		φ = 0.73086878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05824333} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.337097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.73086878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.875696°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66751 KachelY 48717 0.05824333 0.73086878 3.337097 41.875696
    Oben rechts KachelX + 1 66752 KachelY 48717 0.05829127 0.73086878 3.339844 41.875696
    Unten links KachelX 66751 KachelY + 1 48718 0.05824333 0.73083308 3.337097 41.873651
    Unten rechts KachelX + 1 66752 KachelY + 1 48718 0.05829127 0.73083308 3.339844 41.873651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.73086878-0.73083308) × R
    3.56999999999719e-05 × 6371000     		dl = 227.444699999821m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.73086878-0.73083308) × R
    3.56999999999719e-05 × 6371000     		dr = 227.444699999821m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05824333-0.05829127) × cos(0.73086878) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.744594758195392 × 6371000     		do = 227.418405021931m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05824333-0.05829127) × cos(0.73083308) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.744618588069797 × 6371000     		du = 227.425683278955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.73086878)-sin(0.73083308))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.744594758195392-0.744618588069797)×R²
    abs(0.05829127-0.05824333)×2.38298744041909e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.38298744041909e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.38298744041909e-05×40589641000000     		ar = 51725.9386105964m²