Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66749 / 66500
↖ ↑ ↗
← S  2.646763°
E  3.331604°		 ← 305.10 m → S  2.646763°
E  3.334351°		 →
↑
305.11 m
↓
↑
305.11 m
↓
S  2.649507°
E  3.331604°		 ← 305.10 m →
93 088 m²		 S  2.649507°
E  3.334351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66749 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509258270263672 y=0.507358551025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509258270263672 × 217)
    floor (0.509258270263672 × 131072)
    floor (66749.5)     		tx = 66749
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.507358551025391 × 217)
    floor (0.507358551025391 × 131072)
    floor (66500.5)     		ty = 66500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66749 / 66500 ti = "17/66749/66500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66749/66500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66749 ÷ 217
    66749 ÷ 131072     		x = 0.509254455566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66500 ÷ 217
    66500 ÷ 131072     		y = 0.507354736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509254455566406 × 2 - 1) × π
    0.0185089111328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05814746
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.507354736328125 × 2 - 1) × π
    -0.01470947265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0462111712337341
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05814746} λ = 0.05814746}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0462111712337341))-π/2
    2×atan(0.954840306094024)-π/2
    2×0.762300796949532-π/2
    1.52460159389906-1.57079632675     		φ = -0.04619473
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05814746} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.331604°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.04619473 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.646763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66749 KachelY 66500 0.05814746 -0.04619473 3.331604 -2.646763
    Oben rechts KachelX + 1 66750 KachelY 66500 0.05819540 -0.04619473 3.334351 -2.646763
    Unten links KachelX 66749 KachelY + 1 66501 0.05814746 -0.04624262 3.331604 -2.649507
    Unten rechts KachelX + 1 66750 KachelY + 1 66501 0.05819540 -0.04624262 3.334351 -2.649507
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.04619473--0.04624262) × R
    4.78899999999949e-05 × 6371000     		dl = 305.107189999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.04619473--0.04624262) × R
    4.78899999999949e-05 × 6371000     		dr = 305.107189999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05814746-0.05819540) × cos(-0.04619473) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.99893321318644 × 6371000     		do = 305.099915848067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05814746-0.05819540) × cos(-0.04624262) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998931000562047 × 6371000     		du = 305.099240055624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.04619473)-sin(-0.04624262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99893321318644-0.998931000562047)×R²
    abs(0.05819540-0.05814746)×2.21262439370484e-06×R²
    4.79400000000033e-05×2.21262439370484e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.21262439370484e-06×40589641000000     		ar = 93088.0749168566m²