Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66749 / 48821
↖ ↑ ↗
← N 41.662653°
E  3.331604°		 ← 228.17 m → N 41.662653°
E  3.334351°		 →
↑
228.15 m
↓
↑
228.15 m
↓
N 41.660601°
E  3.331604°		 ← 228.18 m →
52 058 m²		 N 41.660601°
E  3.334351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66749 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48821 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509258270263672 y=0.372478485107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509258270263672 × 217)
    floor (0.509258270263672 × 131072)
    floor (66749.5)     		tx = 66749
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.372478485107422 × 217)
    floor (0.372478485107422 × 131072)
    floor (48821.5)     		ty = 48821
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66749 / 48821 ti = "17/66749/48821"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66749/48821.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66749 ÷ 217
    66749 ÷ 131072     		x = 0.509254455566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48821 ÷ 217
    48821 ÷ 131072     		y = 0.372474670410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509254455566406 × 2 - 1) × π
    0.0185089111328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05814746
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.372474670410156 × 2 - 1) × π
    0.255050659179688 × 3.1415926535     		Φ = 0.801265277149239
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05814746} λ = 0.05814746}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.801265277149239))-π/2
    2×atan(2.22835863678903)-π/2
    2×1.14897339984882-π/2
    2.29794679969763-1.57079632675     		φ = 0.72715047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05814746} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.331604°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72715047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.662653°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66749 KachelY 48821 0.05814746 0.72715047 3.331604 41.662653
    Oben rechts KachelX + 1 66750 KachelY 48821 0.05819540 0.72715047 3.334351 41.662653
    Unten links KachelX 66749 KachelY + 1 48822 0.05814746 0.72711466 3.331604 41.660601
    Unten rechts KachelX + 1 66750 KachelY + 1 48822 0.05819540 0.72711466 3.334351 41.660601
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72715047-0.72711466) × R
    3.58099999999695e-05 × 6371000     		dl = 228.145509999806m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72715047-0.72711466) × R
    3.58099999999695e-05 × 6371000     		dr = 228.145509999806m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05814746-0.05819540) × cos(0.72715047) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.747071639464853 × 6371000     		do = 228.174908316581m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05814746-0.05819540) × cos(0.72711466) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.747095443451781 × 6371000     		du = 228.182178666904m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72715047)-sin(0.72711466))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.747071639464853-0.747095443451781)×R²
    abs(0.05819540-0.05814746)×2.38039869283613e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.38039869283613e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.38039869283613e-05×40589641000000     		ar = 52057.9101815324m²