Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66749 / 48817
↖ ↑ ↗
← N 41.670860°
E  3.331604°		 ← 228.15 m → N 41.670860°
E  3.334351°		 →
↑
228.15 m
↓
↑
228.15 m
↓
N 41.668808°
E  3.331604°		 ← 228.15 m →
52 051 m²		 N 41.668808°
E  3.334351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66749 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48817 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509258270263672 y=0.372447967529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509258270263672 × 217)
    floor (0.509258270263672 × 131072)
    floor (66749.5)     		tx = 66749
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.372447967529297 × 217)
    floor (0.372447967529297 × 131072)
    floor (48817.5)     		ty = 48817
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66749 / 48817 ti = "17/66749/48817"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66749/48817.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66749 ÷ 217
    66749 ÷ 131072     		x = 0.509254455566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48817 ÷ 217
    48817 ÷ 131072     		y = 0.372444152832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509254455566406 × 2 - 1) × π
    0.0185089111328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05814746
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.372444152832031 × 2 - 1) × π
    0.255111694335938 × 3.1415926535     		Φ = 0.801457024747719
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05814746} λ = 0.05814746}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.801457024747719))-π/2
    2×atan(2.228785960174)-π/2
    2×1.14904501988022-π/2
    2.29809003976044-1.57079632675     		φ = 0.72729371
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05814746} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.331604°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72729371 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.670860°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66749 KachelY 48817 0.05814746 0.72729371 3.331604 41.670860
    Oben rechts KachelX + 1 66750 KachelY 48817 0.05819540 0.72729371 3.334351 41.670860
    Unten links KachelX 66749 KachelY + 1 48818 0.05814746 0.72725790 3.331604 41.668808
    Unten rechts KachelX + 1 66750 KachelY + 1 48818 0.05819540 0.72725790 3.334351 41.668808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72729371-0.72725790) × R
    3.58099999999695e-05 × 6371000     		dl = 228.145509999806m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72729371-0.72725790) × R
    3.58099999999695e-05 × 6371000     		dr = 228.145509999806m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05814746-0.05819540) × cos(0.72729371) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.746976413937326 × 6371000     		do = 228.145823989369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05814746-0.05819540) × cos(0.72725790) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.747000221756118 × 6371000     		du = 228.153095510042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72729371)-sin(0.72725790))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.746976413937326-0.747000221756118)×R²
    abs(0.05819540-0.05814746)×2.38078187927426e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.38078187927426e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.38078187927426e-05×40589641000000     		ar = 52051.2748563585m²