Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66748 / 66501
↖ ↑ ↗
← S  2.649507°
E  3.328857°		 ← 305.10 m → S  2.649507°
E  3.331604°		 →
↑
305.04 m
↓
↑
305.04 m
↓
S  2.652250°
E  3.328857°		 ← 305.10 m →
93 068 m²		 S  2.652250°
E  3.331604°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66748 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509250640869141 y=0.507366180419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509250640869141 × 217)
    floor (0.509250640869141 × 131072)
    floor (66748.5)     		tx = 66748
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.507366180419922 × 217)
    floor (0.507366180419922 × 131072)
    floor (66501.5)     		ty = 66501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66748 / 66501 ti = "17/66748/66501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66748/66501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66748 ÷ 217
    66748 ÷ 131072     		x = 0.509246826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66501 ÷ 217
    66501 ÷ 131072     		y = 0.507362365722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509246826171875 × 2 - 1) × π
    0.01849365234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.05809952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.507362365722656 × 2 - 1) × π
    -0.0147247314453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0462591081333542
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05809952} λ = 0.05809952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0462591081333542))-π/2
    2×atan(0.954794535107186)-π/2
    2×0.762276854095461-π/2
    1.52455370819092-1.57079632675     		φ = -0.04624262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05809952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.328857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.04624262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.649507°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66748 KachelY 66501 0.05809952 -0.04624262 3.328857 -2.649507
    Oben rechts KachelX + 1 66749 KachelY 66501 0.05814746 -0.04624262 3.331604 -2.649507
    Unten links KachelX 66748 KachelY + 1 66502 0.05809952 -0.04629050 3.328857 -2.652250
    Unten rechts KachelX + 1 66749 KachelY + 1 66502 0.05814746 -0.04629050 3.331604 -2.652250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.04624262--0.04629050) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dl = 305.043480000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.04624262--0.04629050) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dr = 305.043480000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05809952-0.05814746) × cos(-0.04624262) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998931000562047 × 6371000     		do = 305.09924005558m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05809952-0.05814746) × cos(-0.04629050) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998928786109392 × 6371000     		du = 305.098563704739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.04624262)-sin(-0.04629050))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998931000562047-0.998928786109392)×R²
    abs(0.05814746-0.05809952)×2.21445265435882e-06×R²
    4.79399999999963e-05×2.21445265435882e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.21445265435882e-06×40589641000000     		ar = 93068.4307914858m²