Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 66746 / 48818
↖ ↑ ↗
← N 41.668808°
E  3.323364°		 ← 228.15 m → N 41.668808°
E  3.326111°		 →
↑
228.08 m
↓
↑
228.08 m
↓
N 41.666757°
E  3.323364°		 ← 228.16 m →
52 038 m²		 N 41.666757°
E  3.326111°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66746 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48818 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509235382080078 y=0.372455596923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509235382080078 × 217)
    floor (0.509235382080078 × 131072)
    floor (66746.5)     		tx = 66746
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.372455596923828 × 217)
    floor (0.372455596923828 × 131072)
    floor (48818.5)     		ty = 48818
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66746 / 48818 ti = "17/66746/48818"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66746/48818.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66746 ÷ 217
    66746 ÷ 131072     		x = 0.509231567382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48818 ÷ 217
    48818 ÷ 131072     		y = 0.372451782226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509231567382812 × 2 - 1) × π
    0.018463134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05800365
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.372451782226562 × 2 - 1) × π
    0.255096435546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.801409087848099
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05800365} λ = 0.05800365}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.801409087848099))-π/2
    2×atan(2.22867912164592)-π/2
    2×1.14902711572827-π/2
    2.29805423145655-1.57079632675     		φ = 0.72725790
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05800365} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.323364°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72725790 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.668808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66746 KachelY 48818 0.05800365 0.72725790 3.323364 41.668808
    Oben rechts KachelX + 1 66747 KachelY 48818 0.05805159 0.72725790 3.326111 41.668808
    Unten links KachelX 66746 KachelY + 1 48819 0.05800365 0.72722210 3.323364 41.666757
    Unten rechts KachelX + 1 66747 KachelY + 1 48819 0.05805159 0.72722210 3.326111 41.666757
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72725790-0.72722210) × R
    3.58000000000303e-05 × 6371000     		dl = 228.081800000193m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72725790-0.72722210) × R
    3.58000000000303e-05 × 6371000     		dr = 228.081800000193m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05800365-0.05805159) × cos(0.72725790) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.747000221756118 × 6371000     		do = 228.153095510042m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05800365-0.05805159) × cos(0.72722210) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.74702402196902 × 6371000     		du = 228.16036470768m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72725790)-sin(0.72722210))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.747000221756118-0.74702402196902)×R²
    abs(0.05805159-0.05800365)×2.38002129020476e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.38002129020476e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.38002129020476e-05×40589641000000     		ar = 52038.3976909246m²