Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66743 / 48819
↖ ↑ ↗
← N 41.666757°
E  3.315125°		 ← 228.11 m → N 41.666757°
E  3.317871°		 →
↑
228.21 m
↓
↑
228.21 m
↓
N 41.664705°
E  3.315125°		 ← 228.12 m →
52 058 m²		 N 41.664705°
E  3.317871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66743 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48819 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509212493896484 y=0.372463226318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509212493896484 × 217)
    floor (0.509212493896484 × 131072)
    floor (66743.5)     		tx = 66743
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.372463226318359 × 217)
    floor (0.372463226318359 × 131072)
    floor (48819.5)     		ty = 48819
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66743 / 48819 ti = "17/66743/48819"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66743/48819.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66743 ÷ 217
    66743 ÷ 131072     		x = 0.509208679199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48819 ÷ 217
    48819 ÷ 131072     		y = 0.372459411621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509208679199219 × 2 - 1) × π
    0.0184173583984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.05785984
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.372459411621094 × 2 - 1) × π
    0.255081176757812 × 3.1415926535     		Φ = 0.801361150948479
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05785984} λ = 0.05785984}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.801361150948479))-π/2
    2×atan(2.22857228823924)-π/2
    2×1.14900921100572-π/2
    2.29801842201144-1.57079632675     		φ = 0.72722210
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05785984} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.315125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72722210 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.666757°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66743 KachelY 48819 0.05785984 0.72722210 3.315125 41.666757
    Oben rechts KachelX + 1 66744 KachelY 48819 0.05790777 0.72722210 3.317871 41.666757
    Unten links KachelX 66743 KachelY + 1 48820 0.05785984 0.72718628 3.315125 41.664705
    Unten rechts KachelX + 1 66744 KachelY + 1 48820 0.05790777 0.72718628 3.317871 41.664705
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72722210-0.72718628) × R
    3.58200000000197e-05 × 6371000     		dl = 228.209220000126m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72722210-0.72718628) × R
    3.58200000000197e-05 × 6371000     		dr = 228.209220000126m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05785984-0.05790777) × cos(0.72722210) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.74702402196902 × 6371000     		do = 228.112771807199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05785984-0.05790777) × cos(0.72718628) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.747047834519912 × 6371000     		du = 228.120043256079m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72722210)-sin(0.72718628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.74702402196902-0.747047834519912)×R²
    abs(0.05790777-0.05785984)×2.38125508920106e-05×R²
    4.79299999999946e-05×2.38125508920106e-05×6371000²
    4.79299999999946e-05×2.38125508920106e-05×40589641000000     		ar = 52058.2674375631m²