Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66742 / 48822
↖ ↑ ↗
← N 41.660601°
E  3.312378°		 ← 228.18 m → N 41.660601°
E  3.315125°		 →
↑
228.15 m
↓
↑
228.15 m
↓
N 41.658549°
E  3.312378°		 ← 228.19 m →
52 060 m²		 N 41.658549°
E  3.315125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66742 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48822 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509204864501953 y=0.372486114501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509204864501953 × 217)
    floor (0.509204864501953 × 131072)
    floor (66742.5)     		tx = 66742
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.372486114501953 × 217)
    floor (0.372486114501953 × 131072)
    floor (48822.5)     		ty = 48822
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66742 / 48822 ti = "17/66742/48822"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66742/48822.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66742 ÷ 217
    66742 ÷ 131072     		x = 0.509201049804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48822 ÷ 217
    48822 ÷ 131072     		y = 0.372482299804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509201049804688 × 2 - 1) × π
    0.018402099609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.05781190
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.372482299804688 × 2 - 1) × π
    0.255035400390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.801217340249619
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05781190} λ = 0.05781190}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.801217340249619))-π/2
    2×atan(2.22825181874503)-π/2
    2×1.14895549341447-π/2
    2.29791098682894-1.57079632675     		φ = 0.72711466
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05781190} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.312378°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72711466 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.660601°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66742 KachelY 48822 0.05781190 0.72711466 3.312378 41.660601
    Oben rechts KachelX + 1 66743 KachelY 48822 0.05785984 0.72711466 3.315125 41.660601
    Unten links KachelX 66742 KachelY + 1 48823 0.05781190 0.72707885 3.312378 41.658549
    Unten rechts KachelX + 1 66743 KachelY + 1 48823 0.05785984 0.72707885 3.315125 41.658549
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72711466-0.72707885) × R
    3.58099999999695e-05 × 6371000     		dl = 228.145509999806m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72711466-0.72707885) × R
    3.58099999999695e-05 × 6371000     		dr = 228.145509999806m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05781190-0.05785984) × cos(0.72711466) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.747095443451781 × 6371000     		do = 228.182178666904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05781190-0.05785984) × cos(0.72707885) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.747119246480667 × 6371000     		du = 228.189448724616m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72711466)-sin(0.72707885))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.747095443451781-0.747119246480667)×R²
    abs(0.05785984-0.05781190)×2.38030288859381e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.38030288859381e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.38030288859381e-05×40589641000000     		ar = 52059.5688458852m²