Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66733 / 48854
↖ ↑ ↗
← N 41.594905°
E  3.287659°		 ← 228.41 m → N 41.594905°
E  3.290406°		 →
↑
228.40 m
↓
↑
228.40 m
↓
N 41.592851°
E  3.287659°		 ← 228.42 m →
52 171 m²		 N 41.592851°
E  3.290406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66733 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48854 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509136199951172 y=0.372730255126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509136199951172 × 217)
    floor (0.509136199951172 × 131072)
    floor (66733.5)     		tx = 66733
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.372730255126953 × 217)
    floor (0.372730255126953 × 131072)
    floor (48854.5)     		ty = 48854
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66733 / 48854 ti = "17/66733/48854"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66733/48854.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66733 ÷ 217
    66733 ÷ 131072     		x = 0.509132385253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48854 ÷ 217
    48854 ÷ 131072     		y = 0.372726440429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509132385253906 × 2 - 1) × π
    0.0182647705078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05738047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.372726440429688 × 2 - 1) × π
    0.254547119140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.799683359461777
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05738047} λ = 0.05738047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.799683359461777))-π/2
    2×atan(2.22483634357099)-π/2
    2×1.14838218627125-π/2
    2.29676437254249-1.57079632675     		φ = 0.72596805
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05738047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.287659°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72596805 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.594905°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66733 KachelY 48854 0.05738047 0.72596805 3.287659 41.594905
    Oben rechts KachelX + 1 66734 KachelY 48854 0.05742841 0.72596805 3.290406 41.594905
    Unten links KachelX 66733 KachelY + 1 48855 0.05738047 0.72593220 3.287659 41.592851
    Unten rechts KachelX + 1 66734 KachelY + 1 48855 0.05742841 0.72593220 3.290406 41.592851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72596805-0.72593220) × R
    3.58499999999484e-05 × 6371000     		dl = 228.400349999671m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72596805-0.72593220) × R
    3.58499999999484e-05 × 6371000     		dr = 228.400349999671m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05738047-0.05742841) × cos(0.72596805) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.747857123083997 × 6371000     		do = 228.414815232183m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05738047-0.05742841) × cos(0.72593220) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.747880921974254 × 6371000     		du = 228.422084025851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72596805)-sin(0.72593220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.747857123083997-0.747880921974254)×R²
    abs(0.05742841-0.05738047)×2.3798890256943e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.3798890256943e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.3798890256943e-05×40589641000000     		ar = 52170.8538471473m²