Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 66730 / 48858
↖ ↑ ↗
← N 41.586689°
E  3.279419°		 ← 228.44 m → N 41.586689°
E  3.282166°		 →
↑
228.46 m
↓
↑
228.46 m
↓
N 41.584634°
E  3.279419°		 ← 228.45 m →
52 192 m²		 N 41.584634°
E  3.282166°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66730 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48858 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509113311767578 y=0.372760772705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509113311767578 × 217)
    floor (0.509113311767578 × 131072)
    floor (66730.5)     		tx = 66730
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.372760772705078 × 217)
    floor (0.372760772705078 × 131072)
    floor (48858.5)     		ty = 48858
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66730 / 48858 ti = "17/66730/48858"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66730/48858.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66730 ÷ 217
    66730 ÷ 131072     		x = 0.509109497070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48858 ÷ 217
    48858 ÷ 131072     		y = 0.372756958007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509109497070312 × 2 - 1) × π
    0.018218994140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05723666
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.372756958007812 × 2 - 1) × π
    0.254486083984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.799491611863297
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05723666} λ = 0.05723666}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.799491611863297))-π/2
    2×atan(2.22440977744292)-π/2
    2×1.14831048180388-π/2
    2.29662096360776-1.57079632675     		φ = 0.72582464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05723666} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.279419°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72582464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.586689°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66730 KachelY 48858 0.05723666 0.72582464 3.279419 41.586689
    Oben rechts KachelX + 1 66731 KachelY 48858 0.05728460 0.72582464 3.282166 41.586689
    Unten links KachelX 66730 KachelY + 1 48859 0.05723666 0.72578878 3.279419 41.584634
    Unten rechts KachelX + 1 66731 KachelY + 1 48859 0.05728460 0.72578878 3.282166 41.584634
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72582464-0.72578878) × R
    3.58599999999987e-05 × 6371000     		dl = 228.464059999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72582464-0.72578878) × R
    3.58599999999987e-05 × 6371000     		dr = 228.464059999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05723666-0.05728460) × cos(0.72582464) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.747952319515267 × 6371000     		do = 228.443890672649m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05723666-0.05728460) × cos(0.72578878) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.747976121197555 × 6371000     		du = 228.451160319075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72582464)-sin(0.72578878))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.747952319515267-0.747976121197555)×R²
    abs(0.05728460-0.05723666)×2.38016822882159e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.38016822882159e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.38016822882159e-05×40589641000000     		ar = 52192.0491774684m²