Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66730 / 48850
↖ ↑ ↗
← N 41.603121°
E  3.279419°		 ← 228.39 m → N 41.603121°
E  3.282166°		 →
↑
228.40 m
↓
↑
228.40 m
↓
N 41.601067°
E  3.279419°		 ← 228.39 m →
52 164 m²		 N 41.601067°
E  3.282166°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66730 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48850 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509113311767578 y=0.372699737548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509113311767578 × 217)
    floor (0.509113311767578 × 131072)
    floor (66730.5)     		tx = 66730
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.372699737548828 × 217)
    floor (0.372699737548828 × 131072)
    floor (48850.5)     		ty = 48850
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66730 / 48850 ti = "17/66730/48850"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66730/48850.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66730 ÷ 217
    66730 ÷ 131072     		x = 0.509109497070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48850 ÷ 217
    48850 ÷ 131072     		y = 0.372695922851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509109497070312 × 2 - 1) × π
    0.018218994140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05723666
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.372695922851562 × 2 - 1) × π
    0.254608154296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.799875107060257
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05723666} λ = 0.05723666}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.799875107060257))-π/2
    2×atan(2.22526299149993)-π/2
    2×1.14845388161168-π/2
    2.29690776322335-1.57079632675     		φ = 0.72611144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05723666} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.279419°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72611144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.603121°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66730 KachelY 48850 0.05723666 0.72611144 3.279419 41.603121
    Oben rechts KachelX + 1 66731 KachelY 48850 0.05728460 0.72611144 3.282166 41.603121
    Unten links KachelX 66730 KachelY + 1 48851 0.05723666 0.72607559 3.279419 41.601067
    Unten rechts KachelX + 1 66731 KachelY + 1 48851 0.05728460 0.72607559 3.282166 41.601067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72611144-0.72607559) × R
    3.58500000000594e-05 × 6371000     		dl = 228.400350000379m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72611144-0.72607559) × R
    3.58500000000594e-05 × 6371000     		dr = 228.400350000379m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05723666-0.05728460) × cos(0.72611144) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.747761924551316 × 6371000     		do = 228.385739149892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05723666-0.05728460) × cos(0.72607559) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.747785727285772 × 6371000     		du = 228.393009117678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72611144)-sin(0.72607559))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.747761924551316-0.747785727285772)×R²
    abs(0.05728460-0.05723666)×2.38027344566794e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.38027344566794e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.38027344566794e-05×40589641000000     		ar = 52164.212994078m²