Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66728 / 48855
↖ ↑ ↗
← N 41.592851°
E  3.273926°		 ← 228.42 m → N 41.592851°
E  3.276672°		 →
↑
228.46 m
↓
↑
228.46 m
↓
N 41.590797°
E  3.273926°		 ← 228.43 m →
52 187 m²		 N 41.590797°
E  3.276672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48855 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509098052978516 y=0.372737884521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509098052978516 × 217)
    floor (0.509098052978516 × 131072)
    floor (66728.5)     		tx = 66728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.372737884521484 × 217)
    floor (0.372737884521484 × 131072)
    floor (48855.5)     		ty = 48855
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66728 / 48855 ti = "17/66728/48855"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66728/48855.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66728 ÷ 217
    66728 ÷ 131072     		x = 0.50909423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48855 ÷ 217
    48855 ÷ 131072     		y = 0.372734069824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50909423828125 × 2 - 1) × π
    0.0181884765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05714078
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.372734069824219 × 2 - 1) × π
    0.254531860351562 × 3.1415926535     		Φ = 0.799635422562157
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05714078} λ = 0.05714078}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.799635422562157))-π/2
    2×atan(2.22472969437076)-π/2
    2×1.14836426101004-π/2
    2.29672852202008-1.57079632675     		φ = 0.72593220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05714078} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.273926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72593220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.592851°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66728 KachelY 48855 0.05714078 0.72593220 3.273926 41.592851
    Oben rechts KachelX + 1 66729 KachelY 48855 0.05718872 0.72593220 3.276672 41.592851
    Unten links KachelX 66728 KachelY + 1 48856 0.05714078 0.72589634 3.273926 41.590797
    Unten rechts KachelX + 1 66729 KachelY + 1 48856 0.05718872 0.72589634 3.276672 41.590797
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72593220-0.72589634) × R
    3.58599999999987e-05 × 6371000     		dl = 228.464059999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72593220-0.72589634) × R
    3.58599999999987e-05 × 6371000     		dr = 228.464059999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05714078-0.05718872) × cos(0.72593220) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.747880921974254 × 6371000     		do = 228.422084025851m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05714078-0.05718872) × cos(0.72589634) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.747904726541378 × 6371000     		du = 228.429354553381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72593220)-sin(0.72589634))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.747880921974254-0.747904726541378)×R²
    abs(0.05718872-0.05714078)×2.38045671245857e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.38045671245857e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.38045671245857e-05×40589641000000     		ar = 52187.0672430246m²