Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6670 / 11768
↖ ↑ ↗
← S 61.522695°
W 33.442383°		 ← 1 164.98 m → S 61.522695°
W 33.420410°		 →
↑
1 164.81 m
↓
↑
1 164.81 m
↓
S 61.533170°
W 33.442383°		 ← 1 164.59 m →
1 356 753 m²		 S 61.533170°
W 33.420410°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6670 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.407135009765625 y=0.718292236328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.407135009765625 × 214)
    floor (0.407135009765625 × 16384)
    floor (6670.5)     		tx = 6670
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718292236328125 × 214)
    floor (0.718292236328125 × 16384)
    floor (11768.5)     		ty = 11768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6670 / 11768 ti = "14/6670/11768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6670/11768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6670 ÷ 214
    6670 ÷ 16384     		x = 0.4071044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11768 ÷ 214
    11768 ÷ 16384     		y = 0.71826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4071044921875 × 2 - 1) × π
    -0.185791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.58367969
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71826171875 × 2 - 1) × π
    -0.4365234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.37137882433057
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58367969} λ = -0.58367969}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37137882433057))-π/2
    2×atan(0.253756832131977)-π/2
    2×0.248511367653049-π/2
    0.497022735306097-1.57079632675     		φ = -1.07377359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58367969} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.442383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07377359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.522695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6670 KachelY 11768 -0.58367969 -1.07377359 -33.442383 -61.522695
    Oben rechts KachelX + 1 6671 KachelY 11768 -0.58329619 -1.07377359 -33.420410 -61.522695
    Unten links KachelX 6670 KachelY + 1 11769 -0.58367969 -1.07395642 -33.442383 -61.533170
    Unten rechts KachelX + 1 6671 KachelY + 1 11769 -0.58329619 -1.07395642 -33.420410 -61.533170
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07377359--1.07395642) × R
    0.000182829999999967 × 6371000     		dl = 1164.80992999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07377359--1.07395642) × R
    0.000182829999999967 × 6371000     		dr = 1164.80992999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58367969--0.58329619) × cos(-1.07377359) × R
    0.000383499999999981 × 0.476810623357779 × 6371000     		do = 1164.9811446216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58367969--0.58329619) × cos(-1.07395642) × R
    0.000383499999999981 × 0.476649906714098 × 6371000     		du = 1164.5884691015m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07377359)-sin(-1.07395642))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.476810623357779-0.476649906714098)×R²
    abs(-0.58329619--0.58367969)×0.000160716643680614×R²
    0.000383499999999981×0.000160716643680614×6371000²
    0.000383499999999981×0.000160716643680614×40589641000000     		ar = 1356752.9131253m²