Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 667 / 1187
↖ ↑ ↗
← N 60.108671°
W121.376953°		 ← 4 870.43 m → N 60.108671°
W121.289063°		 →
↑
4 873.69 m
↓
↑
4 873.69 m
↓
N 60.064840°
W121.376953°		 ← 4 876.91 m →
23 752 756 m²		 N 60.064840°
W121.289063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 667 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1187 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1629638671875 y=0.2899169921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1629638671875 × 212)
    floor (0.1629638671875 × 4096)
    floor (667.5)     		tx = 667
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2899169921875 × 212)
    floor (0.2899169921875 × 4096)
    floor (1187.5)     		ty = 1187
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 667 / 1187 ti = "12/667/1187"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/667/1187.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 667 ÷ 212
    667 ÷ 4096     		x = 0.162841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1187 ÷ 212
    1187 ÷ 4096     		y = 0.289794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.162841796875 × 2 - 1) × π
    -0.67431640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.11842747
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.289794921875 × 2 - 1) × π
    0.42041015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.32075745833179
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11842747} λ = -2.11842747}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.32075745833179))-π/2
    2×atan(3.74625793712479)-π/2
    2×1.30994526767616-π/2
    2.61989053535233-1.57079632675     		φ = 1.04909421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11842747} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.376953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04909421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.108671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 667 KachelY 1187 -2.11842747 1.04909421 -121.376953 60.108671
    Oben rechts KachelX + 1 668 KachelY 1187 -2.11689349 1.04909421 -121.289063 60.108671
    Unten links KachelX 667 KachelY + 1 1188 -2.11842747 1.04832923 -121.376953 60.064840
    Unten rechts KachelX + 1 668 KachelY + 1 1188 -2.11689349 1.04832923 -121.289063 60.064840
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04909421-1.04832923) × R
    0.000764980000000026 × 6371000     		dl = 4873.68758000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04909421-1.04832923) × R
    0.000764980000000026 × 6371000     		dr = 4873.68758000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11842747--2.11689349) × cos(1.04909421) × R
    0.00153398000000005 × 0.498356546950355 × 6371000     		do = 4870.43184540111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11842747--2.11689349) × cos(1.04832923) × R
    0.00153398000000005 × 0.499019617442329 × 6371000     		du = 4876.91202442076m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04909421)-sin(1.04832923))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.498356546950355-0.499019617442329)×R²
    abs(-2.11689349--2.11842747)×0.000663070491973561×R²
    0.00153398000000005×0.000663070491973561×6371000²
    0.00153398000000005×0.000663070491973561×40589641000000     		ar = 23752755.536507m²