Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66691 / 66693
↖ ↑ ↗
← S  3.176167°
E  3.172302°		 ← 304.96 m → S  3.176167°
E  3.175049°		 →
↑
304.92 m
↓
↑
304.92 m
↓
S  3.178910°
E  3.172302°		 ← 304.96 m →
92 986 m²		 S  3.178910°
E  3.175049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66691 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66693 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508815765380859 y=0.508831024169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508815765380859 × 217)
    floor (0.508815765380859 × 131072)
    floor (66691.5)     		tx = 66691
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508831024169922 × 217)
    floor (0.508831024169922 × 131072)
    floor (66693.5)     		ty = 66693
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66691 / 66693 ti = "17/66691/66693"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66691/66693.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66691 ÷ 217
    66691 ÷ 131072     		x = 0.508811950683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66693 ÷ 217
    66693 ÷ 131072     		y = 0.508827209472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508811950683594 × 2 - 1) × π
    0.0176239013671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.05536712
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.508827209472656 × 2 - 1) × π
    -0.0176544189453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.055462992860405
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05536712} λ = 0.05536712}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.055462992860405))-π/2
    2×atan(0.946047033517256)-π/2
    2×0.75768087372054-π/2
    1.51536174744108-1.57079632675     		φ = -0.05543458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05536712} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.172302°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05543458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.176167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66691 KachelY 66693 0.05536712 -0.05543458 3.172302 -3.176167
    Oben rechts KachelX + 1 66692 KachelY 66693 0.05541506 -0.05543458 3.175049 -3.176167
    Unten links KachelX 66691 KachelY + 1 66694 0.05536712 -0.05548244 3.172302 -3.178910
    Unten rechts KachelX + 1 66692 KachelY + 1 66694 0.05541506 -0.05548244 3.175049 -3.178910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05543458--0.05548244) × R
    4.78600000000037e-05 × 6371000     		dl = 304.916060000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05543458--0.05548244) × R
    4.78600000000037e-05 × 6371000     		dr = 304.916060000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05536712-0.05541506) × cos(-0.05543458) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998463897099972 × 6371000     		do = 304.956574635063m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05536712-0.05541506) × cos(-0.05548244) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.99846124421606 × 6371000     		du = 304.955764376032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05543458)-sin(-0.05548244))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998463897099972-0.99846124421606)×R²
    abs(0.05541506-0.05536712)×2.65288391143592e-06×R²
    4.79400000000033e-05×2.65288391143592e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.65288391143592e-06×40589641000000     		ar = 92986.033696093m²