Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6669 / 11769
↖ ↑ ↗
← S 61.533170°
W 33.464355°		 ← 1 164.56 m → S 61.533170°
W 33.442383°		 →
↑
1 164.36 m
↓
↑
1 164.36 m
↓
S 61.543642°
W 33.464355°		 ← 1 164.17 m →
1 355 741 m²		 S 61.543642°
W 33.442383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6669 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.407073974609375 y=0.718353271484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.407073974609375 × 214)
    floor (0.407073974609375 × 16384)
    floor (6669.5)     		tx = 6669
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718353271484375 × 214)
    floor (0.718353271484375 × 16384)
    floor (11769.5)     		ty = 11769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6669 / 11769 ti = "14/6669/11769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6669/11769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6669 ÷ 214
    6669 ÷ 16384     		x = 0.40704345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11769 ÷ 214
    11769 ÷ 16384     		y = 0.71832275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40704345703125 × 2 - 1) × π
    -0.1859130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.58406318
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71832275390625 × 2 - 1) × π
    -0.4366455078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.37176231952753
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58406318} λ = -0.58406318}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37176231952753))-π/2
    2×atan(0.2536595362631)-π/2
    2×0.248419955769942-π/2
    0.496839911539884-1.57079632675     		φ = -1.07395642
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58406318} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.464355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07395642 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.533170°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6669 KachelY 11769 -0.58406318 -1.07395642 -33.464355 -61.533170
    Oben rechts KachelX + 1 6670 KachelY 11769 -0.58367969 -1.07395642 -33.442383 -61.533170
    Unten links KachelX 6669 KachelY + 1 11770 -0.58406318 -1.07413918 -33.464355 -61.543642
    Unten rechts KachelX + 1 6670 KachelY + 1 11770 -0.58367969 -1.07413918 -33.442383 -61.543642
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07395642--1.07413918) × R
    0.000182759999999949 × 6371000     		dl = 1164.36395999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07395642--1.07413918) × R
    0.000182759999999949 × 6371000     		dr = 1164.36395999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58406318--0.58367969) × cos(-1.07395642) × R
    0.000383490000000042 × 0.476649906714098 × 6371000     		do = 1164.55810173613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58406318--0.58367969) × cos(-1.07413918) × R
    0.000383490000000042 × 0.476489235680154 × 6371000     		du = 1164.16554788968m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07395642)-sin(-1.07413918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.476649906714098-0.476489235680154)×R²
    abs(-0.58367969--0.58406318)×0.00016067103394346×R²
    0.000383490000000042×0.00016067103394346×6371000²
    0.000383490000000042×0.00016067103394346×40589641000000     		ar = 1355740.94898415m²