Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66686 / 66701
↖ ↑ ↗
← S  3.198106°
E  3.158569°		 ← 304.95 m → S  3.198106°
E  3.161316°		 →
↑
304.92 m
↓
↑
304.92 m
↓
S  3.200848°
E  3.158569°		 ← 304.95 m →
92 984 m²		 S  3.200848°
E  3.161316°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66686 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66701 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508777618408203 y=0.508892059326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508777618408203 × 217)
    floor (0.508777618408203 × 131072)
    floor (66686.5)     		tx = 66686
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508892059326172 × 217)
    floor (0.508892059326172 × 131072)
    floor (66701.5)     		ty = 66701
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66686 / 66701 ti = "17/66686/66701"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66686/66701.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66686 ÷ 217
    66686 ÷ 131072     		x = 0.508773803710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66701 ÷ 217
    66701 ÷ 131072     		y = 0.508888244628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508773803710938 × 2 - 1) × π
    0.017547607421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.05512743
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.508888244628906 × 2 - 1) × π
    -0.0177764892578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0558464880573654
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05512743} λ = 0.05512743}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0558464880573654))-π/2
    2×atan(0.945684298581802)-π/2
    2×0.757489422704756-π/2
    1.51497884540951-1.57079632675     		φ = -0.05581748
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05512743} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.158569°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05581748 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.198106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66686 KachelY 66701 0.05512743 -0.05581748 3.158569 -3.198106
    Oben rechts KachelX + 1 66687 KachelY 66701 0.05517537 -0.05581748 3.161316 -3.198106
    Unten links KachelX 66686 KachelY + 1 66702 0.05512743 -0.05586534 3.158569 -3.200848
    Unten rechts KachelX + 1 66687 KachelY + 1 66702 0.05517537 -0.05586534 3.161316 -3.200848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05581748--0.05586534) × R
    4.78599999999968e-05 × 6371000     		dl = 304.91605999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05581748--0.05586534) × R
    4.78599999999968e-05 × 6371000     		dr = 304.91605999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05512743-0.05517537) × cos(-0.05581748) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998442608875712 × 6371000     		do = 304.950072663416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05512743-0.05517537) × cos(-0.05586534) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998439937694576 × 6371000     		du = 304.949256815941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05581748)-sin(-0.05586534))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998442608875712-0.998439937694576)×R²
    abs(0.05517537-0.05512743)×2.67118113617126e-06×R²
    4.79400000000033e-05×2.67118113617126e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.67118113617126e-06×40589641000000     		ar = 92984.0502884935m²