Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66684 / 66709
↖ ↑ ↗
← S  3.220045°
E  3.153076°		 ← 304.94 m → S  3.220045°
E  3.155823°		 →
↑
304.92 m
↓
↑
304.92 m
↓
S  3.222787°
E  3.153076°		 ← 304.94 m →
92 982 m²		 S  3.222787°
E  3.155823°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66684 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508762359619141 y=0.508953094482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508762359619141 × 217)
    floor (0.508762359619141 × 131072)
    floor (66684.5)     		tx = 66684
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508953094482422 × 217)
    floor (0.508953094482422 × 131072)
    floor (66709.5)     		ty = 66709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66684 / 66709 ti = "17/66684/66709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66684/66709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66684 ÷ 217
    66684 ÷ 131072     		x = 0.508758544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66709 ÷ 217
    66709 ÷ 131072     		y = 0.508949279785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508758544921875 × 2 - 1) × π
    0.01751708984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.05503156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.508949279785156 × 2 - 1) × π
    -0.0178985595703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0562299832543259
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05503156} λ = 0.05503156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0562299832543259))-π/2
    2×atan(0.945321702726783)-π/2
    2×0.757297975784952-π/2
    1.5145959515699-1.57079632675     		φ = -0.05620038
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05503156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.153076°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05620038 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.220045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66684 KachelY 66709 0.05503156 -0.05620038 3.153076 -3.220045
    Oben rechts KachelX + 1 66685 KachelY 66709 0.05507950 -0.05620038 3.155823 -3.220045
    Unten links KachelX 66684 KachelY + 1 66710 0.05503156 -0.05624824 3.153076 -3.222787
    Unten rechts KachelX + 1 66685 KachelY + 1 66710 0.05507950 -0.05624824 3.155823 -3.222787
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05620038--0.05624824) × R
    4.78599999999968e-05 × 6371000     		dl = 304.91605999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05620038--0.05624824) × R
    4.78599999999968e-05 × 6371000     		dr = 304.91605999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05503156-0.05507950) × cos(-0.05620038) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998421174267378 × 6371000     		do = 304.943525982304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05503156-0.05507950) × cos(-0.05624824) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998418484789408 × 6371000     		du = 304.942704546505m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05620038)-sin(-0.05624824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998421174267378-0.998418484789408)×R²
    abs(0.05507950-0.05503156)×2.68947796933094e-06×R²
    4.79400000000033e-05×2.68947796933094e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.68947796933094e-06×40589641000000     		ar = 92982.0532482957m²