Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66683 / 66702
↖ ↑ ↗
← S  3.200848°
E  3.150329°		 ← 304.95 m → S  3.200848°
E  3.153076°		 →
↑
304.98 m
↓
↑
304.98 m
↓
S  3.203591°
E  3.150329°		 ← 304.95 m →
93 003 m²		 S  3.203591°
E  3.153076°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66683 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66702 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508754730224609 y=0.508899688720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508754730224609 × 217)
    floor (0.508754730224609 × 131072)
    floor (66683.5)     		tx = 66683
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508899688720703 × 217)
    floor (0.508899688720703 × 131072)
    floor (66702.5)     		ty = 66702
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66683 / 66702 ti = "17/66683/66702"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66683/66702.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66683 ÷ 217
    66683 ÷ 131072     		x = 0.508750915527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66702 ÷ 217
    66702 ÷ 131072     		y = 0.508895874023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508750915527344 × 2 - 1) × π
    0.0175018310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.05498362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.508895874023438 × 2 - 1) × π
    -0.017791748046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0558944249569855
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05498362} λ = 0.05498362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0558944249569855))-π/2
    2×atan(0.945638966495057)-π/2
    2×0.757465491615208-π/2
    1.51493098323042-1.57079632675     		φ = -0.05586534
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05498362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.150329°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05586534 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.200848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66683 KachelY 66702 0.05498362 -0.05586534 3.150329 -3.200848
    Oben rechts KachelX + 1 66684 KachelY 66702 0.05503156 -0.05586534 3.153076 -3.200848
    Unten links KachelX 66683 KachelY + 1 66703 0.05498362 -0.05591321 3.150329 -3.203591
    Unten rechts KachelX + 1 66684 KachelY + 1 66703 0.05503156 -0.05591321 3.153076 -3.203591
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05586534--0.05591321) × R
    4.78699999999985e-05 × 6371000     		dl = 304.97976999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05586534--0.05591321) × R
    4.78699999999985e-05 × 6371000     		dr = 304.97976999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05498362-0.05503156) × cos(-0.05586534) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998439937694576 × 6371000     		do = 304.949256815941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05498362-0.05503156) × cos(-0.05591321) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998437263667593 × 6371000     		du = 304.94844009927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05586534)-sin(-0.05591321))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998439937694576-0.998437263667593)×R²
    abs(0.05503156-0.05498362)×2.67402698317376e-06×R²
    4.79400000000033e-05×2.67402698317376e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.67402698317376e-06×40589641000000     		ar = 93003.2296821176m²