Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6667 / 11748
↖ ↑ ↗
← S 61.312451°
W 33.508301°		 ← 1 172.85 m → S 61.312451°
W 33.486328°		 →
↑
1 172.65 m
↓
↑
1 172.65 m
↓
S 61.322997°
W 33.508301°		 ← 1 172.46 m →
1 375 112 m²		 S 61.322997°
W 33.486328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6667 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11748 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406951904296875 y=0.717071533203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406951904296875 × 214)
    floor (0.406951904296875 × 16384)
    floor (6667.5)     		tx = 6667
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717071533203125 × 214)
    floor (0.717071533203125 × 16384)
    floor (11748.5)     		ty = 11748
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6667 / 11748 ti = "14/6667/11748"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6667/11748.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6667 ÷ 214
    6667 ÷ 16384     		x = 0.40692138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11748 ÷ 214
    11748 ÷ 16384     		y = 0.717041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40692138671875 × 2 - 1) × π
    -0.1861572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.58483018
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.717041015625 × 2 - 1) × π
    -0.43408203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.36370892039136
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58483018} λ = -0.58483018}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36370892039136))-π/2
    2×atan(0.255710605708225)-π/2
    2×0.250346087181549-π/2
    0.500692174363098-1.57079632675     		φ = -1.07010415
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58483018} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.508301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07010415 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.312451°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6667 KachelY 11748 -0.58483018 -1.07010415 -33.508301 -61.312451
    Oben rechts KachelX + 1 6668 KachelY 11748 -0.58444668 -1.07010415 -33.486328 -61.312451
    Unten links KachelX 6667 KachelY + 1 11749 -0.58483018 -1.07028821 -33.508301 -61.322997
    Unten rechts KachelX + 1 6668 KachelY + 1 11749 -0.58444668 -1.07028821 -33.486328 -61.322997
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07010415--1.07028821) × R
    0.000184060000000041 × 6371000     		dl = 1172.64626000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07010415--1.07028821) × R
    0.000184060000000041 × 6371000     		dr = 1172.64626000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58483018--0.58444668) × cos(-1.07010415) × R
    0.000383499999999981 × 0.480032865992172 × 6371000     		do = 1172.853980772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58483018--0.58444668) × cos(-1.07028821) × R
    0.000383499999999981 × 0.479871391133937 × 6371000     		du = 1172.45945272258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07010415)-sin(-1.07028821))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.480032865992172-0.479871391133937)×R²
    abs(-0.58444668--0.58483018)×0.000161474858235144×R²
    0.000383499999999981×0.000161474858235144×6371000²
    0.000383499999999981×0.000161474858235144×40589641000000     		ar = 1375111.51704098m²