Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6666 / 11770
↖ ↑ ↗
← S 61.543642°
W 33.530273°		 ← 1 164.17 m → S 61.543642°
W 33.508301°		 →
↑
1 163.98 m
↓
↑
1 163.98 m
↓
S 61.554110°
W 33.530273°		 ← 1 163.77 m →
1 354 839 m²		 S 61.554110°
W 33.508301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11770 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406890869140625 y=0.718414306640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406890869140625 × 214)
    floor (0.406890869140625 × 16384)
    floor (6666.5)     		tx = 6666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718414306640625 × 214)
    floor (0.718414306640625 × 16384)
    floor (11770.5)     		ty = 11770
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6666 / 11770 ti = "14/6666/11770"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6666/11770.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6666 ÷ 214
    6666 ÷ 16384     		x = 0.4068603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11770 ÷ 214
    11770 ÷ 16384     		y = 0.7183837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4068603515625 × 2 - 1) × π
    -0.186279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.58521367
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7183837890625 × 2 - 1) × π
    -0.436767578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.37214581472449
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58521367} λ = -0.58521367}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37214581472449))-π/2
    2×atan(0.253562277699568)-π/2
    2×0.248328574699148-π/2
    0.496657149398296-1.57079632675     		φ = -1.07413918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58521367} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.530273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07413918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.543642°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6666 KachelY 11770 -0.58521367 -1.07413918 -33.530273 -61.543642
    Oben rechts KachelX + 1 6667 KachelY 11770 -0.58483018 -1.07413918 -33.508301 -61.543642
    Unten links KachelX 6666 KachelY + 1 11771 -0.58521367 -1.07432188 -33.530273 -61.554110
    Unten rechts KachelX + 1 6667 KachelY + 1 11771 -0.58483018 -1.07432188 -33.508301 -61.554110
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07413918--1.07432188) × R
    0.000182700000000091 × 6371000     		dl = 1163.98170000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07413918--1.07432188) × R
    0.000182700000000091 × 6371000     		dr = 1163.98170000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58521367--0.58483018) × cos(-1.07413918) × R
    0.000383490000000042 × 0.476489235680154 × 6371000     		do = 1164.16554788968m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58521367--0.58483018) × cos(-1.07432188) × R
    0.000383490000000042 × 0.476328601486932 × 6371000     		du = 1163.77308405301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07413918)-sin(-1.07432188))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.476489235680154-0.476328601486932)×R²
    abs(-0.58483018--0.58521367)×0.000160634193222597×R²
    0.000383490000000042×0.000160634193222597×6371000²
    0.000383490000000042×0.000160634193222597×40589641000000     		ar = 1354838.9869221m²