Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 66657 / 66529
↖ ↑ ↗
← S  2.726326°
E  3.078918°		 ← 305.08 m → S  2.726326°
E  3.081665°		 →
↑
305.11 m
↓
↑
305.11 m
↓
S  2.729070°
E  3.078918°		 ← 305.08 m →
93 082 m²		 S  2.729070°
E  3.081665°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508556365966797 y=0.507579803466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508556365966797 × 217)
    floor (0.508556365966797 × 131072)
    floor (66657.5)     		tx = 66657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.507579803466797 × 217)
    floor (0.507579803466797 × 131072)
    floor (66529.5)     		ty = 66529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66657 / 66529 ti = "17/66657/66529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66657/66529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66657 ÷ 217
    66657 ÷ 131072     		x = 0.508552551269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66529 ÷ 217
    66529 ÷ 131072     		y = 0.507575988769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508552551269531 × 2 - 1) × π
    0.0171051025390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05373726
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.507575988769531 × 2 - 1) × π
    -0.0151519775390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0476013413227158
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05373726} λ = 0.05373726}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0476013413227158))-π/2
    2×atan(0.953513837882578)-π/2
    2×0.761606475922301-π/2
    1.5232129518446-1.57079632675     		φ = -0.04758337
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05373726} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.078918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.04758337 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.726326°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66657 KachelY 66529 0.05373726 -0.04758337 3.078918 -2.726326
    Oben rechts KachelX + 1 66658 KachelY 66529 0.05378520 -0.04758337 3.081665 -2.726326
    Unten links KachelX 66657 KachelY + 1 66530 0.05373726 -0.04763126 3.078918 -2.729070
    Unten rechts KachelX + 1 66658 KachelY + 1 66530 0.05378520 -0.04763126 3.081665 -2.729070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.04758337--0.04763126) × R
    4.78900000000018e-05 × 6371000     		dl = 305.107190000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.04758337--0.04763126) × R
    4.78900000000018e-05 × 6371000     		dr = 305.107190000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05373726-0.05378520) × cos(-0.04758337) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998868125037682 × 6371000     		do = 305.080036252023m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05373726-0.05378520) × cos(-0.04763126) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.99886584598449 × 6371000     		du = 305.079340170516m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.04758337)-sin(-0.04763126))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998868125037682-0.99886584598449)×R²
    abs(0.05378520-0.05373726)×2.2790531916117e-06×R²
    4.79399999999963e-05×2.2790531916117e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.2790531916117e-06×40589641000000     		ar = 93082.0064140189m²