Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6664 / 11767
↖ ↑ ↗
← S 61.512217°
W 33.574219°		 ← 1 165.34 m → S 61.512217°
W 33.552246°		 →
↑
1 165.13 m
↓
↑
1 165.13 m
↓
S 61.522695°
W 33.574219°		 ← 1 164.95 m →
1 357 546 m²		 S 61.522695°
W 33.552246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11767 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406768798828125 y=0.718231201171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406768798828125 × 214)
    floor (0.406768798828125 × 16384)
    floor (6664.5)     		tx = 6664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718231201171875 × 214)
    floor (0.718231201171875 × 16384)
    floor (11767.5)     		ty = 11767
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6664 / 11767 ti = "14/6664/11767"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6664/11767.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6664 ÷ 214
    6664 ÷ 16384     		x = 0.40673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11767 ÷ 214
    11767 ÷ 16384     		y = 0.71820068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40673828125 × 2 - 1) × π
    -0.1865234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.58598066
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71820068359375 × 2 - 1) × π
    -0.4364013671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.37099532913361
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58598066} λ = -0.58598066}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37099532913361))-π/2
    2×atan(0.253854165320507)-π/2
    2×0.248602810355802-π/2
    0.497205620711603-1.57079632675     		φ = -1.07359071
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58598066} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.574219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07359071 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.512217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6664 KachelY 11767 -0.58598066 -1.07359071 -33.574219 -61.512217
    Oben rechts KachelX + 1 6665 KachelY 11767 -0.58559717 -1.07359071 -33.552246 -61.512217
    Unten links KachelX 6664 KachelY + 1 11768 -0.58598066 -1.07377359 -33.574219 -61.522695
    Unten rechts KachelX + 1 6665 KachelY + 1 11768 -0.58559717 -1.07377359 -33.552246 -61.522695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07359071--1.07377359) × R
    0.000182880000000107 × 6371000     		dl = 1165.12848000068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07359071--1.07377359) × R
    0.000182880000000107 × 6371000     		dr = 1165.12848000068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58598066--0.58559717) × cos(-1.07359071) × R
    0.000383490000000042 × 0.476971368009144 × 6371000     		do = 1165.3435007266m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58598066--0.58559717) × cos(-1.07377359) × R
    0.000383490000000042 × 0.476810623357779 × 6371000     		du = 1164.95076701697m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07359071)-sin(-1.07377359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.476971368009144-0.476810623357779)×R²
    abs(-0.58559717--0.58598066)×0.000160744651365452×R²
    0.000383490000000042×0.000160744651365452×6371000²
    0.000383490000000042×0.000160744651365452×40589641000000     		ar = 1357546.11284811m²