Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6660 / 3317
↖ ↑ ↗
← N 32.361403°
E112.675781°		 ← 4 127.57 m → N 32.361403°
E112.719727°		 →
↑
4 128.41 m
↓
↑
4 128.41 m
↓
N 32.324276°
E112.675781°		 ← 4 129.26 m →
17 043 772 m²		 N 32.324276°
E112.719727°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6660 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3317 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.81304931640625 y=0.40496826171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.81304931640625 × 213)
    floor (0.81304931640625 × 8192)
    floor (6660.5)     		tx = 6660
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.40496826171875 × 213)
    floor (0.40496826171875 × 8192)
    floor (3317.5)     		ty = 3317
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6660 / 3317 ti = "13/6660/3317"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6660/3317.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6660 ÷ 213
    6660 ÷ 8192     		x = 0.81298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3317 ÷ 213
    3317 ÷ 8192     		y = 0.4049072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81298828125 × 2 - 1) × π
    0.6259765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.96656337
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4049072265625 × 2 - 1) × π
    0.190185546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.59748551686438
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96656337} λ = 1.96656337}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.59748551686438))-π/2
    2×atan(1.81754286885816)-π/2
    2×1.06780468259892-π/2
    2.13560936519784-1.57079632675     		φ = 0.56481304
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96656337} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.675781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56481304 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.361403°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6660 KachelY 3317 1.96656337 0.56481304 112.675781 32.361403
    Oben rechts KachelX + 1 6661 KachelY 3317 1.96733036 0.56481304 112.719727 32.361403
    Unten links KachelX 6660 KachelY + 1 3318 1.96656337 0.56416504 112.675781 32.324276
    Unten rechts KachelX + 1 6661 KachelY + 1 3318 1.96733036 0.56416504 112.719727 32.324276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56481304-0.56416504) × R
    0.000647999999999982 × 6371000     		dl = 4128.40799999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56481304-0.56416504) × R
    0.000647999999999982 × 6371000     		dr = 4128.40799999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96656337-1.96733036) × cos(0.56481304) × R
    0.000766990000000023 × 0.844688687002839 × 6371000     		do = 4127.56560117841m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96656337-1.96733036) × cos(0.56416504) × R
    0.000766990000000023 × 0.845035356755228 × 6371000     		du = 4129.2596005973m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56481304)-sin(0.56416504))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.844688687002839-0.845035356755228)×R²
    abs(1.96733036-1.96656337)×0.000346669752388951×R²
    0.000766990000000023×0.000346669752388951×6371000²
    0.000766990000000023×0.000346669752388951×40589641000000     		ar = 17043772.2052014m²