Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 666 / 1435
↖ ↑ ↗
← S 58.355631°
W 62.929687°		 ← 10.255 km → S 58.355631°
W 62.753906°		 →
↑
10.241 km
↓
↑
10.241 km
↓
S 58.447733°
W 62.929687°		 ← 10.228 km →
104.885 km²		 S 58.447733°
W 62.753906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1435 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.325439453125 y=0.700927734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.325439453125 × 211)
    floor (0.325439453125 × 2048)
    floor (666.5)     		tx = 666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.700927734375 × 211)
    floor (0.700927734375 × 2048)
    floor (1435.5)     		ty = 1435
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 666 / 1435 ti = "11/666/1435"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/666/1435.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 666 ÷ 211
    666 ÷ 2048     		x = 0.3251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1435 ÷ 211
    1435 ÷ 2048     		y = 0.70068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3251953125 × 2 - 1) × π
    -0.349609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.09833024
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.70068359375 × 2 - 1) × π
    -0.4013671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.26093220760596
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.09833024} λ = -1.09833024}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.26093220760596))-π/2
    2×atan(0.283389725269755)-π/2
    2×0.276149219953002-π/2
    0.552298439906003-1.57079632675     		φ = -1.01849789
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.09833024} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -62.929687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01849789 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.355631°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 666 KachelY 1435 -1.09833024 -1.01849789 -62.929687 -58.355631
    Oben rechts KachelX + 1 667 KachelY 1435 -1.09526228 -1.01849789 -62.753906 -58.355631
    Unten links KachelX 666 KachelY + 1 1436 -1.09833024 -1.02010538 -62.929687 -58.447733
    Unten rechts KachelX + 1 667 KachelY + 1 1436 -1.09526228 -1.02010538 -62.753906 -58.447733
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01849789--1.02010538) × R
    0.00160749000000004 × 6371000     		dl = 10241.3187900003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01849789--1.02010538) × R
    0.00160749000000004 × 6371000     		dr = 10241.3187900003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.09833024--1.09526228) × cos(-1.01849789) × R
    0.00306795999999987 × 0.524645320306961 × 6371000     		do = 10254.703349239m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.09833024--1.09526228) × cos(-1.02010538) × R
    0.00306795999999987 × 0.523276153202488 × 6371000     		du = 10227.9416457634m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01849789)-sin(-1.02010538))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.524645320306961-0.523276153202488)×R²
    abs(-1.09526228--1.09833024)×0.00136916710447343×R²
    0.00306795999999987×0.00136916710447343×6371000²
    0.00306795999999987×0.00136916710447343×40589641000000     		ar = 104884671.113486m²