Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 666 / 1185
↖ ↑ ↗
← N 60.196156°
W121.464844°		 ← 4 857.49 m → N 60.196156°
W121.376953°		 →
↑
4 860.75 m
↓
↑
4 860.75 m
↓
N 60.152442°
W121.464844°		 ← 4 863.96 m →
23 626 783 m²		 N 60.152442°
W121.376953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1185 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1627197265625 y=0.2894287109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1627197265625 × 212)
    floor (0.1627197265625 × 4096)
    floor (666.5)     		tx = 666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2894287109375 × 212)
    floor (0.2894287109375 × 4096)
    floor (1185.5)     		ty = 1185
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 666 / 1185 ti = "12/666/1185"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/666/1185.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 666 ÷ 212
    666 ÷ 4096     		x = 0.16259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1185 ÷ 212
    1185 ÷ 4096     		y = 0.289306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16259765625 × 2 - 1) × π
    -0.6748046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.11996145
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.289306640625 × 2 - 1) × π
    0.42138671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.32382541990747
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11996145} λ = -2.11996145}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.32382541990747))-π/2
    2×atan(3.7577689611894)-π/2
    2×1.31070872096847-π/2
    2.62141744193693-1.57079632675     		φ = 1.05062112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11996145} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.464844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05062112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.196156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 666 KachelY 1185 -2.11996145 1.05062112 -121.464844 60.196156
    Oben rechts KachelX + 1 667 KachelY 1185 -2.11842747 1.05062112 -121.376953 60.196156
    Unten links KachelX 666 KachelY + 1 1186 -2.11996145 1.04985817 -121.464844 60.152442
    Unten rechts KachelX + 1 667 KachelY + 1 1186 -2.11842747 1.04985817 -121.376953 60.152442
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05062112-1.04985817) × R
    0.000762949999999929 × 6371000     		dl = 4860.75444999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05062112-1.04985817) × R
    0.000762949999999929 × 6371000     		dr = 4860.75444999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11996145--2.11842747) × cos(1.05062112) × R
    0.00153398000000005 × 0.497032178033511 × 6371000     		do = 4857.48880574982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11996145--2.11842747) × cos(1.04985817) × R
    0.00153398000000005 × 0.497694069522893 × 6371000     		du = 4863.95746239297m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05062112)-sin(1.04985817))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.497032178033511-0.497694069522893)×R²
    abs(-2.11842747--2.11996145)×0.000661891489382727×R²
    0.00153398000000005×0.000661891489382727×6371000²
    0.00153398000000005×0.000661891489382727×40589641000000     		ar = 23626782.7502335m²