Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6657 / 11779
↖ ↑ ↗
← S 61.637726°
W 33.728027°		 ← 1 160.67 m → S 61.637726°
W 33.706055°		 →
↑
1 160.41 m
↓
↑
1 160.41 m
↓
S 61.648162°
W 33.728027°		 ← 1 160.28 m →
1 346 627 m²		 S 61.648162°
W 33.706055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11779 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406341552734375 y=0.718963623046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406341552734375 × 214)
    floor (0.406341552734375 × 16384)
    floor (6657.5)     		tx = 6657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718963623046875 × 214)
    floor (0.718963623046875 × 16384)
    floor (11779.5)     		ty = 11779
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6657 / 11779 ti = "14/6657/11779"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6657/11779.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6657 ÷ 214
    6657 ÷ 16384     		x = 0.40631103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11779 ÷ 214
    11779 ÷ 16384     		y = 0.71893310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40631103515625 × 2 - 1) × π
    -0.1873779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.58866513
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71893310546875 × 2 - 1) × π
    -0.4378662109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.37559727149713
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58866513} λ = -0.58866513}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37559727149713))-π/2
    2×atan(0.252688627009993)-π/2
    2×0.247507530405325-π/2
    0.49501506081065-1.57079632675     		φ = -1.07578127
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58866513} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.728027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07578127 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.637726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6657 KachelY 11779 -0.58866513 -1.07578127 -33.728027 -61.637726
    Oben rechts KachelX + 1 6658 KachelY 11779 -0.58828163 -1.07578127 -33.706055 -61.637726
    Unten links KachelX 6657 KachelY + 1 11780 -0.58866513 -1.07596341 -33.728027 -61.648162
    Unten rechts KachelX + 1 6658 KachelY + 1 11780 -0.58828163 -1.07596341 -33.706055 -61.648162
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07578127--1.07596341) × R
    0.000182139999999942 × 6371000     		dl = 1160.41393999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07578127--1.07596341) × R
    0.000182139999999942 × 6371000     		dr = 1160.41393999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58866513--0.58828163) × cos(-1.07578127) × R
    0.000383499999999981 × 0.475044900725483 × 6371000     		do = 1160.66699247715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58866513--0.58828163) × cos(-1.07596341) × R
    0.000383499999999981 × 0.474884616648524 × 6371000     		du = 1160.27537383802m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07578127)-sin(-1.07596341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.475044900725483-0.474884616648524)×R²
    abs(-0.58828163--0.58866513)×0.00016028407695956×R²
    0.000383499999999981×0.00016028407695956×6371000²
    0.000383499999999981×0.00016028407695956×40589641000000     		ar = 1346626.9416267m²