Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6657 / 11743
↖ ↑ ↗
← S 61.259669°
W 33.728027°		 ← 1 174.83 m → S 61.259669°
W 33.706055°		 →
↑
1 174.62 m
↓
↑
1 174.62 m
↓
S 61.270233°
W 33.728027°		 ← 1 174.43 m →
1 379 746 m²		 S 61.270233°
W 33.706055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406341552734375 y=0.716766357421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406341552734375 × 214)
    floor (0.406341552734375 × 16384)
    floor (6657.5)     		tx = 6657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.716766357421875 × 214)
    floor (0.716766357421875 × 16384)
    floor (11743.5)     		ty = 11743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6657 / 11743 ti = "14/6657/11743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6657/11743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6657 ÷ 214
    6657 ÷ 16384     		x = 0.40631103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11743 ÷ 214
    11743 ÷ 16384     		y = 0.71673583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40631103515625 × 2 - 1) × π
    -0.1873779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.58866513
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71673583984375 × 2 - 1) × π
    -0.4334716796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.36179144440656
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58866513} λ = -0.58866513}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36179144440656))-π/2
    2×atan(0.256201395041735)-π/2
    2×0.250806700152155-π/2
    0.50161340030431-1.57079632675     		φ = -1.06918293
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58866513} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.728027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06918293 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.259669°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6657 KachelY 11743 -0.58866513 -1.06918293 -33.728027 -61.259669
    Oben rechts KachelX + 1 6658 KachelY 11743 -0.58828163 -1.06918293 -33.706055 -61.259669
    Unten links KachelX 6657 KachelY + 1 11744 -0.58866513 -1.06936730 -33.728027 -61.270233
    Unten rechts KachelX + 1 6658 KachelY + 1 11744 -0.58828163 -1.06936730 -33.706055 -61.270233
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06918293--1.06936730) × R
    0.000184369999999934 × 6371000     		dl = 1174.62126999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06918293--1.06936730) × R
    0.000184369999999934 × 6371000     		dr = 1174.62126999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58866513--0.58828163) × cos(-1.06918293) × R
    0.000383499999999981 × 0.480840802898542 × 6371000     		do = 1174.82799564469m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58866513--0.58828163) × cos(-1.06936730) × R
    0.000383499999999981 × 0.480679137651468 × 6371000     		du = 1174.43300242232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06918293)-sin(-1.06936730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.480840802898542-0.480679137651468)×R²
    abs(-0.58828163--0.58866513)×0.000161665247073062×R²
    0.000383499999999981×0.000161665247073062×6371000²
    0.000383499999999981×0.000161665247073062×40589641000000     		ar = 1379745.97246368m²