Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6651 / 1436
↖ ↑ ↗
← N 81.427045°
W 33.859863°		 ← 364.22 m → N 81.427045°
W 33.837890°		 →
↑
364.23 m
↓
↑
364.23 m
↓
N 81.423769°
W 33.859863°		 ← 364.35 m →
132 684 m²		 N 81.423769°
W 33.837890°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6651 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1436 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405975341796875 y=0.087677001953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405975341796875 × 214)
    floor (0.405975341796875 × 16384)
    floor (6651.5)     		tx = 6651
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.087677001953125 × 214)
    floor (0.087677001953125 × 16384)
    floor (1436.5)     		ty = 1436
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6651 / 1436 ti = "14/6651/1436"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6651/1436.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6651 ÷ 214
    6651 ÷ 16384     		x = 0.40594482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1436 ÷ 214
    1436 ÷ 16384     		y = 0.087646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40594482421875 × 2 - 1) × π
    -0.1881103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.59096610
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.087646484375 × 2 - 1) × π
    0.82470703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.59089355066479
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59096610} λ = -0.59096610}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.59089355066479))-π/2
    2×atan(13.3416877525221)-π/2
    2×1.49598318073287-π/2
    2.99196636146574-1.57079632675     		φ = 1.42117003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59096610} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.859863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42117003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.427045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6651 KachelY 1436 -0.59096610 1.42117003 -33.859863 81.427045
    Oben rechts KachelX + 1 6652 KachelY 1436 -0.59058260 1.42117003 -33.837890 81.427045
    Unten links KachelX 6651 KachelY + 1 1437 -0.59096610 1.42111286 -33.859863 81.423769
    Unten rechts KachelX + 1 6652 KachelY + 1 1437 -0.59058260 1.42111286 -33.837890 81.423769
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42117003-1.42111286) × R
    5.71700000000508e-05 × 6371000     		dl = 364.230070000324m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42117003-1.42111286) × R
    5.71700000000508e-05 × 6371000     		dr = 364.230070000324m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59096610--0.59058260) × cos(1.42117003) × R
    0.000383500000000092 × 0.149068615126439 × 6371000     		do = 364.21614236329m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59096610--0.59058260) × cos(1.42111286) × R
    0.000383500000000092 × 0.149125146114065 × 6371000     		du = 364.354263309942m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42117003)-sin(1.42111286))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149068615126439-0.149125146114065)×R²
    abs(-0.59058260--0.59096610)×5.65309876267572e-05×R²
    0.000383500000000092×5.65309876267572e-05×6371000²
    0.000383500000000092×5.65309876267572e-05×40589641000000     		ar = 132683.624964682m²