Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6650 / 1426
↖ ↑ ↗
← N 81.459737°
W 33.881836°		 ← 362.83 m → N 81.459737°
W 33.859863°		 →
↑
362.89 m
↓
↑
362.89 m
↓
N 81.456474°
W 33.881836°		 ← 362.97 m →
131 692 m²		 N 81.456474°
W 33.859863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6650 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1426 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405914306640625 y=0.087066650390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405914306640625 × 214)
    floor (0.405914306640625 × 16384)
    floor (6650.5)     		tx = 6650
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.087066650390625 × 214)
    floor (0.087066650390625 × 16384)
    floor (1426.5)     		ty = 1426
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6650 / 1426 ti = "14/6650/1426"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6650/1426.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6650 ÷ 214
    6650 ÷ 16384     		x = 0.4058837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1426 ÷ 214
    1426 ÷ 16384     		y = 0.0870361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4058837890625 × 2 - 1) × π
    -0.188232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.59134959
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0870361328125 × 2 - 1) × π
    0.825927734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.5947285026344
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59134959} λ = -0.59134959}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5947285026344))-π/2
    2×atan(13.3929507169232)-π/2
    2×1.49626847492366-π/2
    2.99253694984731-1.57079632675     		φ = 1.42174062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59134959} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.881836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42174062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.459737°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6650 KachelY 1426 -0.59134959 1.42174062 -33.881836 81.459737
    Oben rechts KachelX + 1 6651 KachelY 1426 -0.59096610 1.42174062 -33.859863 81.459737
    Unten links KachelX 6650 KachelY + 1 1427 -0.59134959 1.42168366 -33.881836 81.456474
    Unten rechts KachelX + 1 6651 KachelY + 1 1427 -0.59096610 1.42168366 -33.859863 81.456474
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42174062-1.42168366) × R
    5.69599999999948e-05 × 6371000     		dl = 362.892159999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42174062-1.42168366) × R
    5.69599999999948e-05 × 6371000     		dr = 362.892159999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59134959--0.59096610) × cos(1.42174062) × R
    0.000383489999999931 × 0.148504376175848 × 6371000     		do = 362.82808825249m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59134959--0.59096610) × cos(1.42168366) × R
    0.000383489999999931 × 0.148560704348219 × 6371000     		du = 362.96571007632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42174062)-sin(1.42168366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148504376175848-0.148560704348219)×R²
    abs(-0.59096610--0.59134959)×5.63281723705289e-05×R²
    0.000383489999999931×5.63281723705289e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.63281723705289e-05×40589641000000     		ar = 131692.439631569m²