Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6650 / 11772
↖ ↑ ↗
← S 61.564574°
W 33.881836°		 ← 1 163.38 m → S 61.564574°
W 33.859863°		 →
↑
1 163.15 m
↓
↑
1 163.15 m
↓
S 61.575035°
W 33.881836°		 ← 1 162.99 m →
1 352 962 m²		 S 61.575035°
W 33.859863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6650 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11772 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405914306640625 y=0.718536376953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405914306640625 × 214)
    floor (0.405914306640625 × 16384)
    floor (6650.5)     		tx = 6650
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718536376953125 × 214)
    floor (0.718536376953125 × 16384)
    floor (11772.5)     		ty = 11772
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6650 / 11772 ti = "14/6650/11772"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6650/11772.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6650 ÷ 214
    6650 ÷ 16384     		x = 0.4058837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11772 ÷ 214
    11772 ÷ 16384     		y = 0.718505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4058837890625 × 2 - 1) × π
    -0.188232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.59134959
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718505859375 × 2 - 1) × π
    -0.43701171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.37291280511841
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59134959} λ = -0.59134959}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37291280511841))-π/2
    2×atan(0.253367872431328)-π/2
    2×0.248145904965158-π/2
    0.496291809930317-1.57079632675     		φ = -1.07450452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59134959} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.881836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07450452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.564574°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6650 KachelY 11772 -0.59134959 -1.07450452 -33.881836 -61.564574
    Oben rechts KachelX + 1 6651 KachelY 11772 -0.59096610 -1.07450452 -33.859863 -61.564574
    Unten links KachelX 6650 KachelY + 1 11773 -0.59134959 -1.07468709 -33.881836 -61.575035
    Unten rechts KachelX + 1 6651 KachelY + 1 11773 -0.59096610 -1.07468709 -33.859863 -61.575035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07450452--1.07468709) × R
    0.000182569999999993 × 6371000     		dl = 1163.15346999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07450452--1.07468709) × R
    0.000182569999999993 × 6371000     		dr = 1163.15346999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59134959--0.59096610) × cos(-1.07450452) × R
    0.000383489999999931 × 0.476168004155459 × 6371000     		do = 1163.38071027719m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59134959--0.59096610) × cos(-1.07468709) × R
    0.000383489999999931 × 0.476007452501163 × 6371000     		du = 1162.98844810085m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07450452)-sin(-1.07468709))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.476168004155459-0.476007452501163)×R²
    abs(-0.59096610--0.59134959)×0.000160551654296237×R²
    0.000383489999999931×0.000160551654296237×6371000²
    0.000383489999999931×0.000160551654296237×40589641000000     		ar = 1352962.18329305m²