Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6650 / 11751
↖ ↑ ↗
← S 61.344078°
W 33.881836°		 ← 1 171.64 m → S 61.344078°
W 33.859863°		 →
↑
1 171.50 m
↓
↑
1 171.50 m
↓
S 61.354614°
W 33.881836°		 ← 1 171.25 m →
1 372 345 m²		 S 61.354614°
W 33.859863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6650 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11751 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405914306640625 y=0.717254638671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405914306640625 × 214)
    floor (0.405914306640625 × 16384)
    floor (6650.5)     		tx = 6650
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717254638671875 × 214)
    floor (0.717254638671875 × 16384)
    floor (11751.5)     		ty = 11751
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6650 / 11751 ti = "14/6650/11751"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6650/11751.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6650 ÷ 214
    6650 ÷ 16384     		x = 0.4058837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11751 ÷ 214
    11751 ÷ 16384     		y = 0.71722412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4058837890625 × 2 - 1) × π
    -0.188232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.59134959
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71722412109375 × 2 - 1) × π
    -0.4344482421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.36485940598224
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59134959} λ = -0.59134959}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36485940598224))-π/2
    2×atan(0.255416583507506)-π/2
    2×0.250070091048983-π/2
    0.500140182097966-1.57079632675     		φ = -1.07065614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59134959} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.881836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07065614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.344078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6650 KachelY 11751 -0.59134959 -1.07065614 -33.881836 -61.344078
    Oben rechts KachelX + 1 6651 KachelY 11751 -0.59096610 -1.07065614 -33.859863 -61.344078
    Unten links KachelX 6650 KachelY + 1 11752 -0.59134959 -1.07084002 -33.881836 -61.354614
    Unten rechts KachelX + 1 6651 KachelY + 1 11752 -0.59096610 -1.07084002 -33.859863 -61.354614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07065614--1.07084002) × R
    0.000183879999999803 × 6371000     		dl = 1171.49947999875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07065614--1.07084002) × R
    0.000183879999999803 × 6371000     		dr = 1171.49947999875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59134959--0.59096610) × cos(-1.07065614) × R
    0.000383489999999931 × 0.479548559379492 × 6371000     		do = 1171.64013279896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59134959--0.59096610) × cos(-1.07084002) × R
    0.000383489999999931 × 0.479387193751709 × 6371000     		du = 1171.24588191056m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07065614)-sin(-1.07084002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.479548559379492-0.479387193751709)×R²
    abs(-0.59096610--0.59134959)×0.000161365627783572×R²
    0.000383489999999931×0.000161365627783572×6371000²
    0.000383489999999931×0.000161365627783572×40589641000000     		ar = 1372344.87783134m²