Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 665 / 1186
↖ ↑ ↗
← N 60.152442°
W121.552734°		 ← 4 863.96 m → N 60.152442°
W121.464844°		 →
↑
4 867.19 m
↓
↑
4 867.19 m
↓
N 60.108671°
W121.552734°		 ← 4 870.43 m →
23 689 558 m²		 N 60.108671°
W121.464844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 665 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1186 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1624755859375 y=0.2896728515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1624755859375 × 212)
    floor (0.1624755859375 × 4096)
    floor (665.5)     		tx = 665
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2896728515625 × 212)
    floor (0.2896728515625 × 4096)
    floor (1186.5)     		ty = 1186
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 665 / 1186 ti = "12/665/1186"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/665/1186.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 665 ÷ 212
    665 ÷ 4096     		x = 0.162353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1186 ÷ 212
    1186 ÷ 4096     		y = 0.28955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.162353515625 × 2 - 1) × π
    -0.67529296875 × 3.1415926535     		Λ = -2.12149543
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.28955078125 × 2 - 1) × π
    0.4208984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.32229143911963
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12149543} λ = -2.12149543}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.32229143911963))-π/2
    2×atan(3.75200903473552)-π/2
    2×1.31032724826633-π/2
    2.62065449653266-1.57079632675     		φ = 1.04985817
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12149543} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.552734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04985817 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.152442°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 665 KachelY 1186 -2.12149543 1.04985817 -121.552734 60.152442
    Oben rechts KachelX + 1 666 KachelY 1186 -2.11996145 1.04985817 -121.464844 60.152442
    Unten links KachelX 665 KachelY + 1 1187 -2.12149543 1.04909421 -121.552734 60.108671
    Unten rechts KachelX + 1 666 KachelY + 1 1187 -2.11996145 1.04909421 -121.464844 60.108671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04985817-1.04909421) × R
    0.000763960000000008 × 6371000     		dl = 4867.18916000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04985817-1.04909421) × R
    0.000763960000000008 × 6371000     		dr = 4867.18916000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12149543--2.11996145) × cos(1.04985817) × R
    0.00153398000000005 × 0.497694069522893 × 6371000     		do = 4863.95746239297m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12149543--2.11996145) × cos(1.04909421) × R
    0.00153398000000005 × 0.498356546950355 × 6371000     		du = 4870.43184540111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04985817)-sin(1.04909421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.497694069522893-0.498356546950355)×R²
    abs(-2.11996145--2.12149543)×0.000662477427461838×R²
    0.00153398000000005×0.000662477427461838×6371000²
    0.00153398000000005×0.000662477427461838×40589641000000     		ar = 23689558.211228m²