Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6649 / 2795
↖ ↑ ↗
← N 49.525208°
E112.192383°		 ← 3 171.89 m → N 49.525208°
E112.236328°		 →
↑
3 172.82 m
↓
↑
3 172.82 m
↓
N 49.496675°
E112.192383°		 ← 3 173.74 m →
10 066 773 m²		 N 49.496675°
E112.236328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2795 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.81170654296875 y=0.34124755859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.81170654296875 × 213)
    floor (0.81170654296875 × 8192)
    floor (6649.5)     		tx = 6649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.34124755859375 × 213)
    floor (0.34124755859375 × 8192)
    floor (2795.5)     		ty = 2795
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6649 / 2795 ti = "13/6649/2795"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6649/2795.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6649 ÷ 213
    6649 ÷ 8192     		x = 0.8116455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2795 ÷ 213
    2795 ÷ 8192     		y = 0.3411865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8116455078125 × 2 - 1) × π
    0.623291015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.95812648
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3411865234375 × 2 - 1) × π
    0.317626953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.997854502491089
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95812648} λ = 1.95812648}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.997854502491089))-π/2
    2×atan(2.71245601343814)-π/2
    2×1.21758713754-π/2
    2.43517427508-1.57079632675     		φ = 0.86437795
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95812648} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.192383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86437795 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.525208°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6649 KachelY 2795 1.95812648 0.86437795 112.192383 49.525208
    Oben rechts KachelX + 1 6650 KachelY 2795 1.95889347 0.86437795 112.236328 49.525208
    Unten links KachelX 6649 KachelY + 1 2796 1.95812648 0.86387994 112.192383 49.496675
    Unten rechts KachelX + 1 6650 KachelY + 1 2796 1.95889347 0.86387994 112.236328 49.496675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86437795-0.86387994) × R
    0.000498009999999938 × 6371000     		dl = 3172.8217099996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86437795-0.86387994) × R
    0.000498009999999938 × 6371000     		dr = 3172.8217099996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95812648-1.95889347) × cos(0.86437795) × R
    0.000766990000000023 × 0.64911342947038 × 6371000     		do = 3171.88841755599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95812648-1.95889347) × cos(0.86387994) × R
    0.000766990000000023 × 0.649492180998693 × 6371000     		du = 3173.73918435768m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86437795)-sin(0.86387994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64911342947038-0.649492180998693)×R²
    abs(1.95889347-1.95812648)×0.000378751528313903×R²
    0.000766990000000023×0.000378751528313903×6371000²
    0.000766990000000023×0.000378751528313903×40589641000000     		ar = 10066772.717519m²