Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6648 / 3315
↖ ↑ ↗
← N 32.435613°
E112.148438°		 ← 4 124.17 m → N 32.435613°
E112.192383°		 →
↑
4 125.03 m
↓
↑
4 125.03 m
↓
N 32.398516°
E112.148438°		 ← 4 125.87 m →
17 015 848 m²		 N 32.398516°
E112.192383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.81158447265625 y=0.40472412109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.81158447265625 × 213)
    floor (0.81158447265625 × 8192)
    floor (6648.5)     		tx = 6648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.40472412109375 × 213)
    floor (0.40472412109375 × 8192)
    floor (3315.5)     		ty = 3315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6648 / 3315 ti = "13/6648/3315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6648/3315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6648 ÷ 213
    6648 ÷ 8192     		x = 0.8115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3315 ÷ 213
    3315 ÷ 8192     		y = 0.4046630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8115234375 × 2 - 1) × π
    0.623046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.95735949
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4046630859375 × 2 - 1) × π
    0.190673828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.599019497652222
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95735949} λ = 1.95735949}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.599019497652222))-π/2
    2×atan(1.82033308422131)-π/2
    2×1.06845228462577-π/2
    2.13690456925155-1.57079632675     		φ = 0.56610824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95735949} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.148438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56610824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.435613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6648 KachelY 3315 1.95735949 0.56610824 112.148438 32.435613
    Oben rechts KachelX + 1 6649 KachelY 3315 1.95812648 0.56610824 112.192383 32.435613
    Unten links KachelX 6648 KachelY + 1 3316 1.95735949 0.56546077 112.148438 32.398516
    Unten rechts KachelX + 1 6649 KachelY + 1 3316 1.95812648 0.56546077 112.192383 32.398516
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56610824-0.56546077) × R
    0.000647470000000094 × 6371000     		dl = 4125.0313700006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56610824-0.56546077) × R
    0.000647470000000094 × 6371000     		dr = 4125.0313700006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95735949-1.95812648) × cos(0.56610824) × R
    0.000766990000000023 × 0.843994712660805 × 6371000     		do = 4124.17450021263m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95735949-1.95812648) × cos(0.56546077) × R
    0.000766990000000023 × 0.844341807229663 × 6371000     		du = 4125.87057549435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56610824)-sin(0.56546077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.843994712660805-0.844341807229663)×R²
    abs(1.95812648-1.95735949)×0.000347094568858064×R²
    0.000766990000000023×0.000347094568858064×6371000²
    0.000766990000000023×0.000347094568858064×40589641000000     		ar = 17015847.9650489m²