Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6648 / 12761
↖ ↑ ↗
← S 70.326138°
W 33.925781°		 ← 822.55 m → S 70.326138°
W 33.903809°		 →
↑
822.37 m
↓
↑
822.37 m
↓
S 70.333533°
W 33.925781°		 ← 822.25 m →
676 315 m²		 S 70.333533°
W 33.903809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12761 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405792236328125 y=0.778900146484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405792236328125 × 214)
    floor (0.405792236328125 × 16384)
    floor (6648.5)     		tx = 6648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778900146484375 × 214)
    floor (0.778900146484375 × 16384)
    floor (12761.5)     		ty = 12761
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6648 / 12761 ti = "14/6648/12761"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6648/12761.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6648 ÷ 214
    6648 ÷ 16384     		x = 0.40576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12761 ÷ 214
    12761 ÷ 16384     		y = 0.77886962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40576171875 × 2 - 1) × π
    -0.1884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.59211658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77886962890625 × 2 - 1) × π
    -0.5577392578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.75218955491229
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59211658} λ = -0.59211658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75218955491229))-π/2
    2×atan(0.173393872104319)-π/2
    2×0.171686840751841-π/2
    0.343373681503682-1.57079632675     		φ = -1.22742265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59211658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.925781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22742265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.326138°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6648 KachelY 12761 -0.59211658 -1.22742265 -33.925781 -70.326138
    Oben rechts KachelX + 1 6649 KachelY 12761 -0.59173309 -1.22742265 -33.903809 -70.326138
    Unten links KachelX 6648 KachelY + 1 12762 -0.59211658 -1.22755173 -33.925781 -70.333533
    Unten rechts KachelX + 1 6649 KachelY + 1 12762 -0.59173309 -1.22755173 -33.903809 -70.333533
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22742265--1.22755173) × R
    0.000129080000000004 × 6371000     		dl = 822.368680000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22742265--1.22755173) × R
    0.000129080000000004 × 6371000     		dr = 822.368680000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59211658--0.59173309) × cos(-1.22742265) × R
    0.000383490000000042 × 0.336665737823446 × 6371000     		do = 822.546709936596m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59211658--0.59173309) × cos(-1.22755173) × R
    0.000383490000000042 × 0.336544190164127 × 6371000     		du = 822.249742897658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22742265)-sin(-1.22755173))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336665737823446-0.336544190164127)×R²
    abs(-0.59173309--0.59211658)×0.00012154765931921×R²
    0.000383490000000042×0.00012154765931921×6371000²
    0.000383490000000042×0.00012154765931921×40589641000000     		ar = 676314.544831128m²