Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6648 / 11771
↖ ↑ ↗
← S 61.554110°
W 33.925781°		 ← 1 163.77 m → S 61.554110°
W 33.903809°		 →
↑
1 163.60 m
↓
↑
1 163.60 m
↓
S 61.564574°
W 33.925781°		 ← 1 163.38 m →
1 353 937 m²		 S 61.564574°
W 33.903809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11771 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405792236328125 y=0.718475341796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405792236328125 × 214)
    floor (0.405792236328125 × 16384)
    floor (6648.5)     		tx = 6648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718475341796875 × 214)
    floor (0.718475341796875 × 16384)
    floor (11771.5)     		ty = 11771
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6648 / 11771 ti = "14/6648/11771"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6648/11771.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6648 ÷ 214
    6648 ÷ 16384     		x = 0.40576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11771 ÷ 214
    11771 ÷ 16384     		y = 0.71844482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40576171875 × 2 - 1) × π
    -0.1884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.59211658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71844482421875 × 2 - 1) × π
    -0.4368896484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.37252930992145
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59211658} λ = -0.59211658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37252930992145))-π/2
    2×atan(0.253465056427076)-π/2
    2×0.248237224433332-π/2
    0.496474448866664-1.57079632675     		φ = -1.07432188
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59211658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.925781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07432188 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.554110°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6648 KachelY 11771 -0.59211658 -1.07432188 -33.925781 -61.554110
    Oben rechts KachelX + 1 6649 KachelY 11771 -0.59173309 -1.07432188 -33.903809 -61.554110
    Unten links KachelX 6648 KachelY + 1 11772 -0.59211658 -1.07450452 -33.925781 -61.564574
    Unten rechts KachelX + 1 6649 KachelY + 1 11772 -0.59173309 -1.07450452 -33.903809 -61.564574
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07432188--1.07450452) × R
    0.000182640000000012 × 6371000     		dl = 1163.59944000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07432188--1.07450452) × R
    0.000182640000000012 × 6371000     		dr = 1163.59944000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59211658--0.59173309) × cos(-1.07432188) × R
    0.000383490000000042 × 0.476328601486932 × 6371000     		do = 1163.77308405301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59211658--0.59173309) × cos(-1.07450452) × R
    0.000383490000000042 × 0.476168004155459 × 6371000     		du = 1163.38071027753m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07432188)-sin(-1.07450452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.476328601486932-0.476168004155459)×R²
    abs(-0.59173309--0.59211658)×0.000160597331472556×R²
    0.000383490000000042×0.000160597331472556×6371000²
    0.000383490000000042×0.000160597331472556×40589641000000     		ar = 1353937.42970156m²