Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6647 / 1431
↖ ↑ ↗
← N 81.443407°
W 33.947754°		 ← 363.53 m → N 81.443407°
W 33.925781°		 →
↑
363.59 m
↓
↑
363.59 m
↓
N 81.440137°
W 33.947754°		 ← 363.66 m →
132 201 m²		 N 81.440137°
W 33.925781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6647 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1431 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405731201171875 y=0.087371826171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405731201171875 × 214)
    floor (0.405731201171875 × 16384)
    floor (6647.5)     		tx = 6647
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.087371826171875 × 214)
    floor (0.087371826171875 × 16384)
    floor (1431.5)     		ty = 1431
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6647 / 1431 ti = "14/6647/1431"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6647/1431.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6647 ÷ 214
    6647 ÷ 16384     		x = 0.40570068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1431 ÷ 214
    1431 ÷ 16384     		y = 0.08734130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40570068359375 × 2 - 1) × π
    -0.1885986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.59250008
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08734130859375 × 2 - 1) × π
    0.8253173828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.5928110266496
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59250008} λ = -0.59250008}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5928110266496))-π/2
    2×atan(13.3672946608544)-π/2
    2×1.49612596306717-π/2
    2.99225192613435-1.57079632675     		φ = 1.42145560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59250008} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.947754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42145560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.443407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6647 KachelY 1431 -0.59250008 1.42145560 -33.947754 81.443407
    Oben rechts KachelX + 1 6648 KachelY 1431 -0.59211658 1.42145560 -33.925781 81.443407
    Unten links KachelX 6647 KachelY + 1 1432 -0.59250008 1.42139853 -33.947754 81.440137
    Unten rechts KachelX + 1 6648 KachelY + 1 1432 -0.59211658 1.42139853 -33.925781 81.440137
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42145560-1.42139853) × R
    5.70699999999924e-05 × 6371000     		dl = 363.592969999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42145560-1.42139853) × R
    5.70699999999924e-05 × 6371000     		dr = 363.592969999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59250008--0.59211658) × cos(1.42145560) × R
    0.000383499999999981 × 0.148786229767176 × 6371000     		do = 363.526196286183m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59250008--0.59211658) × cos(1.42139853) × R
    0.000383499999999981 × 0.14884266430057 × 6371000     		du = 363.664081568283m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42145560)-sin(1.42139853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148786229767176-0.14884266430057)×R²
    abs(-0.59211658--0.59250008)×5.64345333944338e-05×R²
    0.000383499999999981×5.64345333944338e-05×6371000²
    0.000383499999999981×5.64345333944338e-05×40589641000000     		ar = 132200.636476085m²