Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6647 / 11745
↖ ↑ ↗
← S 61.280793°
W 33.947754°		 ← 1 174.04 m → S 61.280793°
W 33.925781°		 →
↑
1 173.86 m
↓
↑
1 173.86 m
↓
S 61.291349°
W 33.947754°		 ← 1 173.64 m →
1 377 921 m²		 S 61.291349°
W 33.925781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6647 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11745 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405731201171875 y=0.716888427734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405731201171875 × 214)
    floor (0.405731201171875 × 16384)
    floor (6647.5)     		tx = 6647
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.716888427734375 × 214)
    floor (0.716888427734375 × 16384)
    floor (11745.5)     		ty = 11745
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6647 / 11745 ti = "14/6647/11745"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6647/11745.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6647 ÷ 214
    6647 ÷ 16384     		x = 0.40570068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11745 ÷ 214
    11745 ÷ 16384     		y = 0.71685791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40570068359375 × 2 - 1) × π
    -0.1885986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.59250008
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71685791015625 × 2 - 1) × π
    -0.4337158203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.36255843480048
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59250008} λ = -0.59250008}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36255843480048))-π/2
    2×atan(0.25600496637191)-π/2
    2×0.250622362007687-π/2
    0.501244724015374-1.57079632675     		φ = -1.06955160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59250008} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.947754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06955160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.280793°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6647 KachelY 11745 -0.59250008 -1.06955160 -33.947754 -61.280793
    Oben rechts KachelX + 1 6648 KachelY 11745 -0.59211658 -1.06955160 -33.925781 -61.280793
    Unten links KachelX 6647 KachelY + 1 11746 -0.59250008 -1.06973585 -33.947754 -61.291349
    Unten rechts KachelX + 1 6648 KachelY + 1 11746 -0.59211658 -1.06973585 -33.925781 -61.291349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06955160--1.06973585) × R
    0.000184249999999997 × 6371000     		dl = 1173.85674999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06955160--1.06973585) × R
    0.000184249999999997 × 6371000     		dr = 1173.85674999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59250008--0.59211658) × cos(-1.06955160) × R
    0.000383499999999981 × 0.480517517453967 × 6371000     		do = 1174.0381192686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59250008--0.59211658) × cos(-1.06973585) × R
    0.000383499999999981 × 0.480355924788656 × 6371000     		du = 1173.64330338368m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06955160)-sin(-1.06973585))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.480517517453967-0.480355924788656)×R²
    abs(-0.59211658--0.59250008)×0.000161592665311239×R²
    0.000383499999999981×0.000161592665311239×6371000²
    0.000383499999999981×0.000161592665311239×40589641000000     		ar = 1377920.84631381m²