Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6646 / 11760
↖ ↑ ↗
← S 61.438767°
W 33.969726°		 ← 1 168.10 m → S 61.438767°
W 33.947754°		 →
↑
1 167.93 m
↓
↑
1 167.93 m
↓
S 61.449271°
W 33.969726°		 ← 1 167.70 m →
1 364 026 m²		 S 61.449271°
W 33.947754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6646 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405670166015625 y=0.717803955078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405670166015625 × 214)
    floor (0.405670166015625 × 16384)
    floor (6646.5)     		tx = 6646
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717803955078125 × 214)
    floor (0.717803955078125 × 16384)
    floor (11760.5)     		ty = 11760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6646 / 11760 ti = "14/6646/11760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6646/11760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6646 ÷ 214
    6646 ÷ 16384     		x = 0.4056396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11760 ÷ 214
    11760 ÷ 16384     		y = 0.7177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4056396484375 × 2 - 1) × π
    -0.188720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.59288357
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7177734375 × 2 - 1) × π
    -0.435546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.36831086275488
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59288357} λ = -0.59288357}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36831086275488))-π/2
    2×atan(0.254536543793655)-π/2
    2×0.249243772840783-π/2
    0.498487545681565-1.57079632675     		φ = -1.07230878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59288357} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.969726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07230878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.438767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6646 KachelY 11760 -0.59288357 -1.07230878 -33.969726 -61.438767
    Oben rechts KachelX + 1 6647 KachelY 11760 -0.59250008 -1.07230878 -33.947754 -61.438767
    Unten links KachelX 6646 KachelY + 1 11761 -0.59288357 -1.07249210 -33.969726 -61.449271
    Unten rechts KachelX + 1 6647 KachelY + 1 11761 -0.59250008 -1.07249210 -33.947754 -61.449271
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07230878--1.07249210) × R
    0.000183320000000098 × 6371000     		dl = 1167.93172000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07230878--1.07249210) × R
    0.000183320000000098 × 6371000     		dr = 1167.93172000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59288357--0.59250008) × cos(-1.07230878) × R
    0.000383490000000042 × 0.478097688205388 × 6371000     		do = 1168.09534288834m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59288357--0.59250008) × cos(-1.07249210) × R
    0.000383490000000042 × 0.477936668994646 × 6371000     		du = 1167.70193837118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07230878)-sin(-1.07249210))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.478097688205388-0.477936668994646)×R²
    abs(-0.59250008--0.59288357)×0.000161019210741575×R²
    0.000383490000000042×0.000161019210741575×6371000²
    0.000383490000000042×0.000161019210741575×40589641000000     		ar = 1364025.87195631m²