Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6645 / 11759
↖ ↑ ↗
← S 61.428261°
W 33.991699°		 ← 1 168.52 m → S 61.428261°
W 33.969726°		 →
↑
1 168.31 m
↓
↑
1 168.31 m
↓
S 61.438767°
W 33.991699°		 ← 1 168.13 m →
1 364 968 m²		 S 61.438767°
W 33.969726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6645 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11759 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405609130859375 y=0.717742919921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405609130859375 × 214)
    floor (0.405609130859375 × 16384)
    floor (6645.5)     		tx = 6645
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717742919921875 × 214)
    floor (0.717742919921875 × 16384)
    floor (11759.5)     		ty = 11759
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6645 / 11759 ti = "14/6645/11759"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6645/11759.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6645 ÷ 214
    6645 ÷ 16384     		x = 0.40557861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11759 ÷ 214
    11759 ÷ 16384     		y = 0.71771240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40557861328125 × 2 - 1) × π
    -0.1888427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.59326707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71771240234375 × 2 - 1) × π
    -0.4354248046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.36792736755792
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59326707} λ = -0.59326707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36792736755792))-π/2
    2×atan(0.254634176055206)-π/2
    2×0.249335462364492-π/2
    0.498670924728984-1.57079632675     		φ = -1.07212540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59326707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.991699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07212540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.428261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6645 KachelY 11759 -0.59326707 -1.07212540 -33.991699 -61.428261
    Oben rechts KachelX + 1 6646 KachelY 11759 -0.59288357 -1.07212540 -33.969726 -61.428261
    Unten links KachelX 6645 KachelY + 1 11760 -0.59326707 -1.07230878 -33.991699 -61.438767
    Unten rechts KachelX + 1 6646 KachelY + 1 11760 -0.59288357 -1.07230878 -33.969726 -61.438767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07212540--1.07230878) × R
    0.000183379999999955 × 6371000     		dl = 1168.31397999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07212540--1.07230878) × R
    0.000183379999999955 × 6371000     		dr = 1168.31397999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59326707--0.59288357) × cos(-1.07212540) × R
    0.000383499999999981 × 0.478258744042212 × 6371000     		do = 1168.51930675528m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59326707--0.59288357) × cos(-1.07230878) × R
    0.000383499999999981 × 0.478097688205388 × 6371000     		du = 1168.12580249187m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07212540)-sin(-1.07230878))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.478258744042212-0.478097688205388)×R²
    abs(-0.59288357--0.59326707)×0.000161055836823798×R²
    0.000383499999999981×0.000161055836823798×6371000²
    0.000383499999999981×0.000161055836823798×40589641000000     		ar = 1364967.57754104m²