Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6643 / 2678
↖ ↑ ↗
← N 52.749594°
E111.928711°		 ← 2 957.79 m → N 52.749594°
E111.972656°		 →
↑
2 958.69 m
↓
↑
2 958.69 m
↓
N 52.722986°
E111.928711°		 ← 2 959.60 m →
8 753 870 m²		 N 52.722986°
E111.972656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6643 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2678 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.81097412109375 y=0.32696533203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.81097412109375 × 213)
    floor (0.81097412109375 × 8192)
    floor (6643.5)     		tx = 6643
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.32696533203125 × 213)
    floor (0.32696533203125 × 8192)
    floor (2678.5)     		ty = 2678
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6643 / 2678 ti = "13/6643/2678"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6643/2678.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6643 ÷ 213
    6643 ÷ 8192     		x = 0.8109130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2678 ÷ 213
    2678 ÷ 8192     		y = 0.326904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8109130859375 × 2 - 1) × π
    0.621826171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.95352453
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326904296875 × 2 - 1) × π
    0.34619140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.08759237857983
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95352453} λ = 1.95352453}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08759237857983))-π/2
    2×atan(2.96712176008183)-π/2
    2×1.24572520819853-π/2
    2.49145041639706-1.57079632675     		φ = 0.92065409
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95352453} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.928711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92065409 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.749594°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6643 KachelY 2678 1.95352453 0.92065409 111.928711 52.749594
    Oben rechts KachelX + 1 6644 KachelY 2678 1.95429152 0.92065409 111.972656 52.749594
    Unten links KachelX 6643 KachelY + 1 2679 1.95352453 0.92018969 111.928711 52.722986
    Unten rechts KachelX + 1 6644 KachelY + 1 2679 1.95429152 0.92018969 111.972656 52.722986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92065409-0.92018969) × R
    0.000464400000000031 × 6371000     		dl = 2958.6924000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92065409-0.92018969) × R
    0.000464400000000031 × 6371000     		dr = 2958.6924000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95352453-1.95429152) × cos(0.92065409) × R
    0.000766990000000023 × 0.605299632021777 × 6371000     		do = 2957.79259031397m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95352453-1.95429152) × cos(0.92018969) × R
    0.000766990000000023 × 0.605669228073663 × 6371000     		du = 2959.59861894152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92065409)-sin(0.92018969))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.605299632021777-0.605669228073663)×R²
    abs(1.95429152-1.95352453)×0.000369596051886245×R²
    0.000766990000000023×0.000369596051886245×6371000²
    0.000766990000000023×0.000369596051886245×40589641000000     		ar = 8753870.35665283m²