Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6643 / 12755
↖ ↑ ↗
← S 70.281705°
W 34.035645°		 ← 824.35 m → S 70.281705°
W 34.013672°		 →
↑
824.15 m
↓
↑
824.15 m
↓
S 70.289116°
W 34.035645°		 ← 824.05 m →
679 269 m²		 S 70.289116°
W 34.013672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6643 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12755 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405487060546875 y=0.778533935546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405487060546875 × 214)
    floor (0.405487060546875 × 16384)
    floor (6643.5)     		tx = 6643
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778533935546875 × 214)
    floor (0.778533935546875 × 16384)
    floor (12755.5)     		ty = 12755
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6643 / 12755 ti = "14/6643/12755"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6643/12755.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6643 ÷ 214
    6643 ÷ 16384     		x = 0.40545654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12755 ÷ 214
    12755 ÷ 16384     		y = 0.77850341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40545654296875 × 2 - 1) × π
    -0.1890869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.59403406
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77850341796875 × 2 - 1) × π
    -0.5570068359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.74988858373053
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59403406} λ = -0.59403406}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74988858373053))-π/2
    2×atan(0.173793305773574)-π/2
    2×0.172074589704937-π/2
    0.344149179409873-1.57079632675     		φ = -1.22664715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59403406} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.035645°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22664715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.281705°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6643 KachelY 12755 -0.59403406 -1.22664715 -34.035645 -70.281705
    Oben rechts KachelX + 1 6644 KachelY 12755 -0.59365056 -1.22664715 -34.013672 -70.281705
    Unten links KachelX 6643 KachelY + 1 12756 -0.59403406 -1.22677651 -34.035645 -70.289116
    Unten rechts KachelX + 1 6644 KachelY + 1 12756 -0.59365056 -1.22677651 -34.013672 -70.289116
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22664715--1.22677651) × R
    0.000129360000000078 × 6371000     		dl = 824.152560000499m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22664715--1.22677651) × R
    0.000129360000000078 × 6371000     		dr = 824.152560000499m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59403406--0.59365056) × cos(-1.22664715) × R
    0.000383499999999981 × 0.337395866101262 × 6371000     		do = 824.352065634052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59403406--0.59365056) × cos(-1.22677651) × R
    0.000383499999999981 × 0.337274088579359 × 6371000     		du = 824.054529233002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22664715)-sin(-1.22677651))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337395866101262-0.337274088579359)×R²
    abs(-0.59365056--0.59403406)×0.000121777521903399×R²
    0.000383499999999981×0.000121777521903399×6371000²
    0.000383499999999981×0.000121777521903399×40589641000000     		ar = 679269.258488117m²