Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6642 / 11762
↖ ↑ ↗
← S 61.459770°
W 34.057617°		 ← 1 167.34 m → S 61.459770°
W 34.035645°		 →
↑
1 167.17 m
↓
↑
1 167.17 m
↓
S 61.470267°
W 34.057617°		 ← 1 166.95 m →
1 362 250 m²		 S 61.470267°
W 34.035645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6642 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11762 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405426025390625 y=0.717926025390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405426025390625 × 214)
    floor (0.405426025390625 × 16384)
    floor (6642.5)     		tx = 6642
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717926025390625 × 214)
    floor (0.717926025390625 × 16384)
    floor (11762.5)     		ty = 11762
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6642 / 11762 ti = "14/6642/11762"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6642/11762.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6642 ÷ 214
    6642 ÷ 16384     		x = 0.4053955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11762 ÷ 214
    11762 ÷ 16384     		y = 0.7178955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4053955078125 × 2 - 1) × π
    -0.189208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.59441756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7178955078125 × 2 - 1) × π
    -0.435791015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.3690778531488
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59441756} λ = -0.59441756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.3690778531488))-π/2
    2×atan(0.254341391559175)-π/2
    2×0.249060486420794-π/2
    0.498120972841588-1.57079632675     		φ = -1.07267535
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59441756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.057617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07267535 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.459770°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6642 KachelY 11762 -0.59441756 -1.07267535 -34.057617 -61.459770
    Oben rechts KachelX + 1 6643 KachelY 11762 -0.59403406 -1.07267535 -34.035645 -61.459770
    Unten links KachelX 6642 KachelY + 1 11763 -0.59441756 -1.07285855 -34.057617 -61.470267
    Unten rechts KachelX + 1 6643 KachelY + 1 11763 -0.59403406 -1.07285855 -34.035645 -61.470267
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07267535--1.07285855) × R
    0.000183200000000161 × 6371000     		dl = 1167.16720000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07267535--1.07285855) × R
    0.000183200000000161 × 6371000     		dr = 1167.16720000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59441756--0.59403406) × cos(-1.07267535) × R
    0.000383499999999981 × 0.477775695215991 × 6371000     		do = 1167.33908394373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59441756--0.59403406) × cos(-1.07285855) × R
    0.000383499999999981 × 0.477614749321828 × 6371000     		du = 1166.94584830085m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07267535)-sin(-1.07285855))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.477775695215991-0.477614749321828)×R²
    abs(-0.59403406--0.59441756)×0.000160945894162989×R²
    0.000383499999999981×0.000160945894162989×6371000²
    0.000383499999999981×0.000160945894162989×40589641000000     		ar = 1362250.40799477m²